Definizione di variabile aleatoria

[AlexZac]

Ciao a tutti!
Non riesco a capire la seguente definizione di variabile aleatoria:
Sia ( $ Omega $ , \( \mathcal{A} \) , P) uno spazio di probabilità. Una funzione X : $ Omega $ $ rarr $ \( \mathbb{R} \) è una variabile aleatoria se
{ w \( \in \) $ Omega $ : X(w) \( \leq \) a } è un evento per ogni a \( \in \) \( \mathbb{R} \) .
Non capisco come sia possibile che prendendo un qualunque risultato w \( \in \) $ Omega $ questo possa essere \( \leq \) di a per ogni a \( \in \) \( \mathbb{R} \).
Inoltre il testo continua affermando che se prendo $ Omega $ = \( \mathbb{N} \) e \( \mathcal{A} \) = {\( \mathbb{N} \), \( \emptyset \), 2\( \mathbb{N} \), 2\( \mathbb{N} \)+1} la funzione identità X(n)=n NON è una variabile aleatoria mentre X(n)=$ (-1)^-1 $ lo è. Non capisco il perchè di queste due ultime affermazioni, oltre al fatto che non mi è chiara la definizione generale.
Spero che qualcuno possa aiutarmi.

[AlexZac]

Ok, e forse è proprio questo che non mi è chiaro. Ci stavo ragionando su anche adesso. Ma allora perchè la funzione identità X(n) = n con lo spazio di probabilità sopra citato non è una variabile aleatoria?

[AlexZac]

Mi sento particolarmente ignorante in questo momento non avendo idea di cosa siano i Boreliani. Mi dispiace, ma non sono in grado di comprendere la risposta. Faccio informatica all’università, non matematica e penso che sia ben al di fuori delle mie capacità. Potreste indicarmi una risposta un po’ più semplice? Mi basterebbe capire anche solo tramite un esempio concreto del perché l'identità in questo spazio di probabilità non é una variabile aleatoria. Ringrazio per la risposta in ogni caso, solo mi dispiace non essere in grado di comprenderla.

[Euclidino]

$\Omega$ è un insieme. In questo insieme, scelgi un elemento $\omega$ al caso. Per ogni scelto omega, associ un numero $X(\omega)$. Vuoi calcolare la probabilità che $X(\omega) \leq a$. Questa probabilità è $P({\omega : X(\omega) \leq a})$. Ma è necessario che ${\omega : X(\omega) \leq a}$ appartenga a $\mathcal A$, se no $P({\omega : X(\omega) \leq a})$ non è definita.

Nel tuo testo, puoi definire la probabilità che un intero sia pari o dispari, ma non puoi definire la probabilità che sia inferiore a un numero $a$.