Esercizio coerenza e varianza

[Samy21]

Dati tre eventi $E_1$;$E_2$;$E_3$, con $E_2 nn E_3 =∅$, verificare
a) se la valutazione $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = 0.4$, $P(E_1 nn E_2) = P(E_1 nn E_3) = 0.1$ è coerente. Inoltre, considerato il numero aleatorio $X =|E_1|−|E_2|−|E_1^c E_2^c E_3^c|$,
b) calcolare la varianza di $X$.

Il disegno sarebbe l'evento $E_1$ centrale che si interseca da un lato con $E_2$ e dall'altro con $E_3$.
Dopo credo di dover calcolare probabilità condizionate ma sinceramente non ne sono sicura.

Per la varianza noto che $X$ ha gli indicatori pertanto $Var(|E|)=p(E)(1-p(E))$.
Non so se gli eventi sono indipendenti quindi non posso dire che vale la proprietà lineare, cioè non posso calcolare singolarmente Var(|E_1|) etc e poi sottrarli.

C'è qualche ragionamento corretto oppure è tutto sbagliato?

Grazie.

[tommik]

il disegno è corretto e c'è coerenza. Ora dovresti aver identificato una partizione di $Omega $ formata da 5 costituenti. Basta porsi con la penna in ognuna delle situazioni possibili ed identificare valore e probabilità del numero aleatorio discreto...poi calcoli ciò che vuoi, media varianza ecc ecc

[Samy21]

Ciao tommik, grazie per la risposta e scusa il ritardo.

il disegno è corretto e c'è coerenza.

Come fai a capirlo dal disegno? Dalla sua simmetria?

Scusami la domanda per te banale ma purtroppo l'argomento è stato analizzato dalla prof in maniera molto ristretta e non mi è chiaro.

Grazie.

[tommik]

no. Devi fare il disegno, identificare tutti gli eventi che formano la partizione di $Omega$ dargli i valori di probabilità espressi dalla traccia e controllare che $mathbb{P}[Omega]=1$.

Se il prof non ha trattato bene l'argomento sul forum ci sono decine di esercizi risolti

[Samy21]

$C_1=E_1E_2^CE_3^C$
$C_2=E_2E_1^C$
$C_3=E_3E_1^C$
$C_4=E_1E_2$
$C_5=E_1E_3$

Ponendo la condizione che $\sum_(i=1)^5 P(C_i)=1$
e facendo i vari passaggi ottengo 1 quindi posso concludere che l'assegnazione è coerente.

Riguardo al punto b), noto che $X$ è definitivo mediante gli indicatori e quindi mi chiedo se posso applicare la formula seguente
$Var(|E|)= P(E)*(1-P(E))$.
Se la risposta fosse affermativa,mi sorgono dei dubbi nel calcolo di $Var(|E_1^CE_2^cE_3^c|)$.

Grazie

[tommik]

Il numero aleatorio è questo

$X=|E_1|-|E_2|$ dato che l'altro evento ha probabilità nulla¹. Ora posiziona la penna su ciascuno dei 5 costituenti e vedi quanto vale il tuo numero aleatorio². Troverai che

$X={{: ( -1 , 0 , 1 ),( 0.3 , 0.4 , 0.3 ) :}$

Si vede subito che $mathbb{V}[X]=(-1)^2xx0.3+1^2xx0.3=0.6$

(La media è zero)

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Note

1. è l'area all'esterno di $E_1 uu E_2 uu E_3$ ↑
2. ad esempio in $E_2 nn E_1 ^c$ avrai $X=0-1$ perché è verificato solo $E_2$ a cui assegnerai la probabilità $0.3$ ecc ecc ↑

[Samy21]

Ah ok! Non avevo minimamente pensato di dover trascurare quel fattore.

Grazie tommik, chiarissimo come sempre!