Densità di variabile aleatoria per casi

[ingetor]

Salve a tutti.
Ho una v.a. $X$ gaussiana non standard con media $\mu$ e varianza $\sigma$.
Ho anche un'altra v.a. $Y:\Omega -> \mathbb{R}$ definita per casi:
\begin{cases} -1 & X(\omega)<=\mu-\sigma,\\ 0 &\mu-\sigma<X(\omega)<\mu+\sigma,\\ 1 &X(\omega)>=\mu+\sigma \end{cases}
Calcolare:
$ \rho_{y}(t)$,$\mathbb{E}[Y]$,$Var[Y]$

Ho iniziato a risolvere l'esercizio prendendo la funzione per casi ed esprimendola con Gauss standard:

$\hat{x} = (X(\omega)-\mu)/\sigma$

Da cui $X(\omega)=\hat{x}\sigma+\mu$

E dopo vari passaggi si ottiene la seguente semplificazione:

$Y(\hat{x}) =$\begin{cases} -1 & \hat{x}<=-1,\\ 0 &-1<\hat{x}<1,\\ 1 &\hat{x}>=1 \end{cases}

Per il valore atteso, anche senza formula possiamo dire che $\mathbb{E}[Y] = 0 $.
Stessa cosa per la varianza $Var[Y] = 1 $, sbaglio?

Per trovare la densità invece, tutto buio : mi verrebbe da derivare il sistema appena trovato ma il risultato sarebbe una densità nulla per ogni intervallo.
A voi i suggerimenti.

[tommik]

Scusa ma dopo tutto il ragionamento che hai fatto non ti pare ovvio che la pmf della tua variabile $Y$ sia

$Y={{: ( -1 ,; 0.1587 ),( 0 , ;0.6826 ),( 1 , ;0.1587 ) :}$

??

la variabile è discreta, ha la pmf, non la pdf

[ingetor]

Immagino tu abbia usato i tabulati che non ho per calcolarle.
Detto questo, preso $\phi$ v.a. Gauss standard,
immagino le probabilità calcolate nei tabulati rappresentino la densità di $Y$ di assumere i valori 1,0,-1.
Ad esempio $\phi(1) - \phi(-1) = 0.6826$
Dimmi se sbaglio: graficamente mi torna.
Perché non è possibile derivare $Y(\omega)$ per conoscere la sua densità?
E' l'insieme di eventualità $\omega$ su cui viene espressa $Y(\omega)$ il problema?
Perché con $F_{Y}(t)$ ciò sarebbe stato possibile.

[ingetor]

Scusa ma dopo tutto il ragionamento che hai fatto non ti pare ovvio che la pmf della tua variabile $Y$ sia

$Y={{: ( -1 ,; 0.1587 ),( 0 , ;0.6826 ),( 1 , ;0.1587 ) :}$

??

la variabile è discreta, ha la pmf, non la pdf

No, non lo è perché è definita sui reali come dice il testo inizialmente.
I risultati sono:

$\rho_{Y}(1)=\rho_{Y}(-1)=1-\phi(1)$,
$\rho_{Y}(0)=2\phi(1) - 1$

[tommik]

A parte il fatto che le $Phi$ vanno maiuscole¹ ti faccio notare che io ed il libro abbiamo scritto la stessa cosa:

$mathbb{P}[Y=-1]=mathbb {P}[Y=1]=1-Phi(1)=1-0,8413=0,1587$

$mathbb{P}[Y=0]=2Phi(1)-1=2xx0,8413-1=0,6826$


PS1: in una v.a. discreta non c'è la densità ma la pmf. Tale pmf non è la derivata della CDF ma è

$p(x_0)=F(x_0)-F(x_0^(-))$

PS2: no non ho guardato i tabulati: $Phi(+-1)$ li so a memoria perché sono le probabilità nei punti di flesso della $Phi$
Saluti

---

Note

1. minuscola indica la densità ↑

[ingetor]

Sicuramente sbaglio, ma mi sembra esagerato dire che una variabile è discreta solo perché ristretta a 3 valori interi, quando il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

[ingetor]

Che può assumere solo valori in $\mathbb{Z}$. Così in tutti i corsi quando si parla di discreto vs continuo.

[ingetor]

No, $X:\Omega\to\RR$ è v.a. discreta se esiste un sottoinsieme numerabile $S\sub\RR$ t.c. $\mathbb{P}(X\in S)=1$. Conta cioè quanti valori assume, non se stiano o meno in $\ZZ$.

Quindi la funzione definita sullo spazio di eventualità $\omega$ poteva assumere ad esempio:
$Y(\omega)=$
$ { ( 3.5 ),( 1 ),( -1.5 ):} $

E avrebbe continuato a essere discreta?

[ingetor]

$Y(\hat{x}) =$\begin{cases} -1 &\mathbb{P}=1-\phi(1),\\ 0 &\mathbb{P}=\phi(1)-\phi(-1)=2\phi(1)-1,\\ 1 &\mathbb{P}=1-\phi(1) \end{cases}

Per il valore atteso, al di là dell'intuizione grafica che ho avuto inizialmente, il calcolo è il seguente:
$\mathbb{E}[Y]=-1*(1-\phi(1)) + 1*(1-\phi(1)) = 0$

Per la varianza, segue:
$Var[Y]= (sum_(j = 0)^(2) y_j^2 p_j)-\mathbb{E}[Y]^2 = (-1)^2*\phi(-1)+0^2*(\phi(1)-\phi(-1))+1^2*(1-\phi(1)) - 0^2 = \phi(-1)(1-\phi(1)) =(1-\phi(1))+(1-\phi(1))=2(1-\phi(1))$

[ingetor]

$\Omega = {0,\pi}$ se non sbaglio.
Mi rifaccio all'esempio della moneta che ha $\Omega={T,C}$ e per calcolare la probabilità di Testa: $P(\omega=T)=0.5 $