Salve a tutti.
Ho una v.a. $X$ gaussiana non standard con media $\mu$ e varianza $\sigma$.
Ho anche un'altra v.a. $Y:\Omega -> \mathbb{R}$ definita per casi:
\begin{cases} -1 & X(\omega)<=\mu-\sigma,\\ 0 &\mu-\sigma<X(\omega)<\mu+\sigma,\\ 1 &X(\omega)>=\mu+\sigma \end{cases}
Calcolare:
$ \rho_{y}(t)$,$\mathbb{E}[Y]$,$Var[Y]$
Ho iniziato a risolvere l'esercizio prendendo la funzione per casi ed esprimendola con Gauss standard:
$\hat{x} = (X(\omega)-\mu)/\sigma$
Da cui $X(\omega)=\hat{x}\sigma+\mu$
E dopo vari passaggi si ottiene la seguente semplificazione:
$Y(\hat{x}) =$\begin{cases} -1 & \hat{x}<=-1,\\ 0 &-1<\hat{x}<1,\\ 1 &\hat{x}>=1 \end{cases}
Per il valore atteso, anche senza formula possiamo dire che $\mathbb{E}[Y] = 0 $.
Stessa cosa per la varianza $Var[Y] = 1 $, sbaglio?
Per trovare la densità invece, tutto buio : mi verrebbe da derivare il sistema appena trovato ma il risultato sarebbe una densità nulla per ogni intervallo.
A voi i suggerimenti.