Somma e differenza di due v.a. eterogenee indipendenti

[ingetor]

Ho una v.a. $X$ che segue una distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$: $exp(\lambda),\lambda >0$.
$Y$ v.a. uniforme in $[0,a] , a>0$. $X,Y$ indipendenti, $Z=X+Y$, $T=X-Y$; trovare $\rho_{T}(t),E[Z],E[T]$.

Il valore atteso della prima: $E[X]=E[|X|]= int_(0)^(oo) x\lambdae^(-\lambdax)dx = 1/\lambda $
Il valore atteso di $Y$: $E[Y] = \frac{a}{2}$
Conseguenza è che il valore atteso di $Z$: $E[Z]=\frac{a}{2} + \frac{1}{\lambda}$.
E il valore atteso di $T$: $E[T]=\frac{1}{\lambda}-\frac{a}{2}$.
(Correggetemi se ho osato troppo)

Per trovare la densità ho usato la formula della convoluzione:
$\rho_{X+Y}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{x}(t)*\rho_{Y}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)\frac{1}{a} dt + ...$ = $t/a(1-e^(-\lambdaa)) - 1/\lambda(e^(-\lambdaa)-1) + ...$.
I puntini perché credo ci sia da sommare anche un integrale che va da $a$ a $oo$ dove cambia la convoluzione (?).

Per la densità della $T$ immagino si possa procedere "inventando" la distribuzione $-Y$ con densità $-\frac{1}{a}$:
$\rho_{X+(-Y)}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{X}(t)*\rho_{(-Y)}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)*-\frac{1}{a} dt + ... $.

Vorrei sapere se c'è davvero da aggiungere quella componente tra i puntini da $a$ all'infinito e se i calcoli sono esatti eccetto quella componente.
In più un'ultima domanda: essendo indipendenti la varianza della somma di v.a.: $Z$, sarebbe pari a $Var[x]+Var[Y]$, quindi la varianza della differenza di v.a.: $T$, pari a $Var[x]-Var[Y]$ ? Oppure sempre $Var[x] +Var[Y]$ come mi è successo con la differenza di due v.a. Gaussiane?

[tommik]

A me la convoluzione non piace, perché funziona bene solo quando funziona anche qualunque altro metodo....io preferisco il metodo classico suggerito da @arnett che funziona sempre..

Ho fatto i conti... (escono due integtali che si risolvono a mente) e la CDF di $X-Y$ mi viene così

$F_T(t)={{: ( 0 , ;t<-a ),( (a+t)/a-1/(lambda a)[1-e^(-lambda(a+t))] , ;-a<=t<0 ),( 1-1/(lambda a)[e^(-lambda t)-e^(-lambda(a+t))] , ;t>=0) :}$

Per ottenere la densità basta derivare la F

Buon lavoro

[Cantor99]

Scusate l'intromissione, è corretto quanto scritto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La densità congiunta è non nulla nel rettangolo infinito $R=]0,+\infty[\times]0,a[$.
1) Quando $t<-a$ , il semipiano $\{x-y\le t\}$ non incontra $R$ e $\mathbb{P}(X-Y\le t)=0$.
2) Quando $-a<t<0$, il semipiano ricopre il triangolo $\{-t\le y\le a, 0\le x\le y+t\}$ e
$$F_{T}(t)=\mathbb{P}(X-Y\le t)=\int \int_{x-y\le t}\frac{\lambda}{a}e^{-\lambda x}dxdy=\frac{1}{a}\int_{-t}^{a}dy\int_{0}^{y+t}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{a}\int_{-t}^{a}[1-e^{-\lambda (y+t)}]dy=\frac{t+a}{a}+\frac{1}{\lambda a}[e^{-\lambda (t+a)}-1 ]$$
3) Quando $t>0$, la zona ricoperta è il trapezio $\{0\le y \le a, 0\le x<t+y\}$
$$F_{T}(t)=\mathbb{P}(X-Y\le t)=\int \int_{x-y\le t}\frac{\lambda}{a}e^{-\lambda x}dxdy=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{t+y}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}[1-e^{-\lambda (y+t)}]dy=1+\frac{1}{\lambda a}[e^{-\lambda (t+a)}-e^{-\lambda t}]$$

[tommik]

il primo, come hai scritto, è un triangolo quindi $int_(-t)^(a)dyint_0^(y+t)f(x,y)dx$

il secondo è un trapezio e quindi

$int_0^a dyint_0^(y+t)f(x,y)dx$

prova col disegno e vedrai che i conti tornano con il mio risultato.

Nel tuo conto $F(-a) !=0$

[Cantor99]

Ho corretto alcuni typo. Non riesco però a capire perché mi escono le tue due funzioni invertite: e nel mio conto continua ad uscire $F(-a)\ne 0$ ...

[tommik]

Sbagli l'integrale (si fa davvero a mente)

$1/a int_(-t)^a -e^(-lambda(y+t))dy=1/(a lambda)[e^(-lambda(y+t))]_(-t)^(a)=1/(lambda a)(e^(-lambda(a+t))-1)$

Così va bene...e coincide col mio. Il resto è giusto. Hai capito il ragionamento; se fai così non sbagli più, al netto degli errori di calcolo che puoi comunque identificare subito controllando che siano soddisfatte le proprietà della F:

$F(-oo)=0$

$F(+oo)=1$

$F$ non decrescente

In questo caso $-oo=-a$ perché la funzione è assolutamente continua e dunque la F non deve presentare salti.

[Cantor99]

Che errore stupido spero sia stata l'ora tarda.
Grazie di nuovo

[ingetor]

I valori attesi vanno bene, la densità di $Z$ non è nemmeno richiesta.

Per la densità di $T$ puoi fare la convoluzione tra $X$ e $-Y$, ma se trovi bene $-Y$. Ti sembra che una variabile aleatoria possa avere densità negativa? $-Y$ sarà uniforme in $[-a, 0]$. Ad ogni modo io procederei ricavando $F_T(t)=\mathbb{P}(Y\ge X-t)$, dopo aver osservato che siccome $X$ e $Y$ sono indipendenti, $f_{(X,Y)}(x,y)=...$

Per le varianze dovrebbe esserti noto che se $X$ e $Y$ sono indipendenti $Var(
aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$. Di conseguenza $Var(T)=Var(Z)$.

L'ultima $f_({X,Y})(x,y)$ che hai citato potrebbe essere una lacuna, so solo che per variabili NON indipendenti:
$\rho_{X+Y}(t) = int_(-oo)^(oo) \rho(x,t-x) dx $ e forse uguale anche al prodotto delle due (?): Così ho osservato sugli appunti di proprietà non mia.

A sto punto: $ int_(-a)^(0) \rho_{{-Y}}(z-t)*\rho_{X}(t) dt + int_(0)^(a) \rho_{{-Y}}(z-t)*\rho_{X}(t) dt $ dove però in ogni integrale sempre almeno una densità mi viene nulla, rispettivamente l'esponenziale nella prima e l'assolutamente continua nella seconda. Aiuto.