Somma e differenza di due v.a. eterogenee indipendenti
Inviato: 06/09/2019, 01:03
Ho una v.a. $X$ che segue una distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$: $exp(\lambda),\lambda >0$.
$Y$ v.a. uniforme in $[0,a] , a>0$. $X,Y$ indipendenti, $Z=X+Y$, $T=X-Y$; trovare $\rho_{T}(t),E[Z],E[T]$.
Il valore atteso della prima: $E[X]=E[|X|]= int_(0)^(oo) x\lambdae^(-\lambdax)dx = 1/\lambda $
Il valore atteso di $Y$: $E[Y] = \frac{a}{2}$
Conseguenza è che il valore atteso di $Z$: $E[Z]=\frac{a}{2} + \frac{1}{\lambda}$.
E il valore atteso di $T$: $E[T]=\frac{1}{\lambda}-\frac{a}{2}$.
(Correggetemi se ho osato troppo)
Per trovare la densità ho usato la formula della convoluzione:
$\rho_{X+Y}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{x}(t)*\rho_{Y}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)\frac{1}{a} dt + ...$ = $t/a(1-e^(-\lambdaa)) - 1/\lambda(e^(-\lambdaa)-1) + ...$.
I puntini perché credo ci sia da sommare anche un integrale che va da $a$ a $oo$ dove cambia la convoluzione (?).
Per la densità della $T$ immagino si possa procedere "inventando" la distribuzione $-Y$ con densità $-\frac{1}{a}$:
$\rho_{X+(-Y)}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{X}(t)*\rho_{(-Y)}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)*-\frac{1}{a} dt + ... $.
Vorrei sapere se c'è davvero da aggiungere quella componente tra i puntini da $a$ all'infinito e se i calcoli sono esatti eccetto quella componente.
In più un'ultima domanda: essendo indipendenti la varianza della somma di v.a.: $Z$, sarebbe pari a $Var[x]+Var[Y]$, quindi la varianza della differenza di v.a.: $T$, pari a $Var[x]-Var[Y]$ ? Oppure sempre $Var[x] +Var[Y]$ come mi è successo con la differenza di due v.a. Gaussiane?
$Y$ v.a. uniforme in $[0,a] , a>0$. $X,Y$ indipendenti, $Z=X+Y$, $T=X-Y$; trovare $\rho_{T}(t),E[Z],E[T]$.
Il valore atteso della prima: $E[X]=E[|X|]= int_(0)^(oo) x\lambdae^(-\lambdax)dx = 1/\lambda $
Il valore atteso di $Y$: $E[Y] = \frac{a}{2}$
Conseguenza è che il valore atteso di $Z$: $E[Z]=\frac{a}{2} + \frac{1}{\lambda}$.
E il valore atteso di $T$: $E[T]=\frac{1}{\lambda}-\frac{a}{2}$.
(Correggetemi se ho osato troppo)
Per trovare la densità ho usato la formula della convoluzione:
$\rho_{X+Y}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{x}(t)*\rho_{Y}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)\frac{1}{a} dt + ...$ = $t/a(1-e^(-\lambdaa)) - 1/\lambda(e^(-\lambdaa)-1) + ...$.
I puntini perché credo ci sia da sommare anche un integrale che va da $a$ a $oo$ dove cambia la convoluzione (?).
Per la densità della $T$ immagino si possa procedere "inventando" la distribuzione $-Y$ con densità $-\frac{1}{a}$:
$\rho_{X+(-Y)}(t) = int_(-oo)^(+oo) \rho_{X}(t)*\rho_{(-Y)}(t-z) dt $ = $ int_(0)^(a) t*\lambdae^(\lambdat)*-\frac{1}{a} dt + ... $.
Vorrei sapere se c'è davvero da aggiungere quella componente tra i puntini da $a$ all'infinito e se i calcoli sono esatti eccetto quella componente.
In più un'ultima domanda: essendo indipendenti la varianza della somma di v.a.: $Z$, sarebbe pari a $Var[x]+Var[Y]$, quindi la varianza della differenza di v.a.: $T$, pari a $Var[x]-Var[Y]$ ? Oppure sempre $Var[x] +Var[Y]$ come mi è successo con la differenza di due v.a. Gaussiane?