Funzione di ripartizione continua da destra

[Silent]

Buongiorno a tutti,
sto cercando di trovare una dimostrazione del fatto che:

\(\displaystyle P\{\mathbf{x}=x_0\} = F(x_0)-F(x_0^-)\)

dove \(\displaystyle \mathbf{x} \) è una variabile aleatoria, \(\displaystyle F : \mathbb{R}\to [0,1]\) è la sua funzione di ripartizione e \(\displaystyle F(x_0^-):=\lim_{(-\infty, x_0 ) \ni x\to x_0} F(x)\).

Io riesco ad arrivare fino a:

\(\displaystyle P\{x_0-h<\mathbf{x}\leq x_0\} = F(x_0)-F(x_0-h) \)

e da qui dunque:

\(\displaystyle \lim_{\mathbb{R}^+ \ni h\to 0} P\{x_0-h<\mathbf{x}\leq x_0\} = F(x_0)-\lim_{\mathbb{R}^+ \ni h\to 0} F(x_0-h) = F(x_0)-F(x_0^-) \)

ma da qui come faccio a concludere che:

\(\displaystyle P\{\mathbf{x}=x_0\} = \lim_{\mathbb{R}^+ \ni h\to 0} P\{x_0-h<\mathbf{x}\leq x_0\} \)

[spugna]

In un qualsiasi spazio di probabilità, dati degli eventi $A_1,A_2,A_3,...$ tali che $A_n \supseteq A_{n+1}$ $\forall n$, le probabilità $P(A_n)$ formano una successione decrescente il cui limite è la probabilità dell'intersezione $A=bigcap_{n in NN^+} A_n$. Nel tuo caso puoi prendere $A_n=\{ x_0-1/n<X<=x_0 \}$ e $A=\{ X=x_0 \}$, da cui

$P(X=x_0)=lim_{n->+oo} P(x_0-1/n<X<=x_0)=lim_{n->+oo} [F(x_0)-F(x_0-1/n)]=F(x_0)-F(x_0^-)$.

[Silent]

Non mi è ben chiaro perché riesci ad affermare velocemente che il limite della successione delle probabilità degli eventi che hai scritto è la probabilità dell’intersezione infinita.

Grazie.

[spugna]

È un fatto che si usa spesso e che segue quasi immediatamente dalla definizione degli spazi di probabilità: se hai una famiglia numerabile di eventi a due a due disgiunti, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Nel nostro caso, possiamo scrivere $A_1$ come unione disgiunta degli eventi $A_n \setminus A_{n+1}$ e dell'intersezione $A$, perciò

$P(A_1)=P(A)+sum_{n in NN^+} [P(A_n)-P(A_{n+1})]=P(A)+lim_(n->+oo) [P(A_1)-P(A_n)]$.

Da qui puoi tirare fuori $P(A_1)$ dal limite e sottrarlo da entrambi i membri, e ti rimane $P(A)-lim_(n->+oo) P(A_n)=0$.