Variabile aleatoria lato di un quadrato

[ingetor]

Un'azienda che produce mattonelle ha una politica di vendita che prevede il lato di una mattonella che sia accettabile dev'essere compreso tra 9.5 e 10.2 con $X$ variabile aleatoria lato di una mattonella.
La distribuzione è assolutamente continua con densità seguente:



Calcolare la probabilità che una mattonella possa essere messa in vendita.
Su una partita di 20 mattonelle calcolare la probabilità che almeno 19 siano messe in vendita.

Ho iniziato risolvendo un integrale:
$ int_(9.5)^(10.2) 4x dx + int_(10)^(10.2) -4x dx $ = 19.5

So già che è un risultato non attendibile in quanto dev'essere <=1.
Per la seconda domanda mi risulta un calcolo di probabilità eventi indipendenti:
Ponendo $Y$ v.a. mattonelle vendute, $\mathbb{P}(Y>=19)= (19.5)^19$

Attendo energici aiuti.

[ingetor]

I risultati sono gli stessi ma io ho usato l'integrale. Nelle soluzioni tornerebbe 0.64 ma prendo per scontato sia un errore di "stampa".
Qual'è il tuo metodo alternativo al calcolo dell'integrale? L'area del trapezio rettangolo non mi sembra così rapida da trovare (senza integrale) per la base minore incognita.
La seconda ho trovato: $ ( ( 20 ),( 19 ) ) * (0.82)^19*(0.18)^1 = ( ( 20 ),( 1 ) ) * (0.82)^19*(0.18) = (0.82)^19*3.6$

Tutto corretto?

[axpgn]

@arnett
Il $4x$ sarebbe l'equazione della retta (così come $-4x$), peccato manchi qualcosa ...

@ingetor
Dato che hai l'equazione della retta calcolare la "base minore" direi che è semplice ...

[tommik]

Per il valore numerico ho ricontrollato, continua a venirmi un'area di $41/50$, @alex anche a te torna così?

Ovviamente sì...

@ingetor: per calcolare l'area richiesta non servono integrali, non serve ricavarsi le equazioni delle rette e nemmeno servono articolati calcoli di aree; è banalmente sufficiente calcolare l'area del triangolino restante di altezza¹ $2/(0.5)=y/(0.3)$ di base $(10.5-10.2)$ e farne il complemento a 1.

$1-2/(1/2)xx3/10xx3/10xx1/2=41/50$

---

Note

1. rapporto fra i cateti di due triangoli rettangoli simili ↑

[axpgn]

@tommik
È quello che ho fatto io ma volevo rispondere ad arnett e a ingetor

[ingetor]

Per il valore numerico ho ricontrollato, continua a venirmi un'area di $41/50$, @alex anche a te torna così?

Ovviamente sì...

@ingetor: per calcolare l'area richiesta non servono integrali, non serve ricavarsi le equazioni delle rette e nemmeno servono articolati calcoli di aree; è banalmente sufficiente calcolare l'area del triangolino restante di altezza¹ $2/(0.5)=y/(0.3)$ di base $(10.5-10.2)$ e farne il complemento a 1.

$1-2/(1/2)xx3/10xx3/10xx1/2=41/50$

Devo dire che ero inizialmente diffidente ma mi è piaciuto anche questo metodo alternativo, anche se lo ritengo alquanto meno rapido.

Quando ho detto i risultati sono gli stessi intendevo $\mathbb{P}(9.5<X<10.2) = Area(triangolo Sx) + $²$Area(trapezio Dx) = (10-9.5)*2*1/2 + int_(0.3)^(0.5) 4x dx = 0.82 = 41/50$ per quelli più fissati con le frazioni.

Per il secondo punto, ho:
$\mathbb(P)(Y>=19) = ( (20), (1) ) (0.82)^19 *(0.18)+ ( (20), (0) ) * (0.82)^20 *(0.18)^0 =20*(0.82)^19 *0.18 + (0.82)^20 $

---

Note

1. rapporto fra i cateti di due triangoli rettangoli simili ↑
2. Integrale specchiato rispetto alla retta x=10 dalla parte sx della figura che è equivalente all'area del trapezio a dx ↑

[ingetor]

@arnett
Il $4x$ sarebbe l'equazione della retta (così come $-4x$), peccato manchi qualcosa ...

@ingetor
Dato che hai l'equazione della retta calcolare la "base minore" direi che è semplice ...

Vero. Me ne sono accorto prima che tu scrivessi che mancava l'ordinata all'origine, perciò ho traslato semplicemente il calcolo dell'integrale sull'origine e specchiato l'aria del trapezio come conseguenza di una semplice osservazione grafica. La Base Minore del trapezio a destra, a questo punto, non era più necessaria.