[Prob, v.a.] Correzione esercizio e consiglio per risoluzione al punto C

Buon pomeriggio a tutti. Ho cercato di svolgere il seguente esercizio di probabilità con variabili aleatorie e vorrei sapere se i passaggi che ho fatto sono corretti, di seguito la traccia:
Si consideri una sequenza di 3 simboli binari (b2, b1, b0), con probabilità del simbolo 1 pari a 0.6 e la variabile aleatoria $X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $ che corrisponde alla conversione decimale della sequenza. Definire:

A) L'alfabeto di X
B) La PMF di X
C) la probabilità degli eventi ${X<=2}$ e ${X>= 4.5}$

Punto A

$Omega = 2^3$



Punto B
La PMF è definita come: $f_x = P(X=x)$ e nel mio caso, dato che X è dato da $ X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $, dovrò calcolare $P(X=0)$, $P(X=1)$ e $P(X=2)$ tenendo presente che $bi$ può assumere valore $0$ ed $1$.
Detto ciò ho fatto:

$X=(b0*2^0) + (b1*2^1) + (b2*2^2)$ dove come detto $bn$ può valere $0$ o $1$ (1 ha probabilità 0,6)...

$=[(0*0.4)+(1*0.6)]*1 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*2 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*4$

$=4,2$



Punto C
Qualsiasi consiglio sulla risoluzione è ben accetto...

Secondo voi il mio procedimento è corretto?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno

Dai dati del problema la probabilità per le singole stringhe di 3 bit sarebbe:

Stringa con 3 “0” (000) P=0.4*0.4*0.4=0.064
Stringa con 3 “1” (111) P=0.6*0.6*0.6=0.216
Stringa con un solo “1” (001, 010, 100) P=0.6*0.4*0.4= 0.096
Stringa con un solo “0” (011, 101, 110) P=0.6*0.6*0.4=0.144

Riassumendo:




Con questi risultati non ti dovrebbe essere difficile rispondere alle domande che vengono poste.