Si, credo di aver risolto. Provo a spiegarmi, sicuramente mi sarà utile per fare ulteriore chiarezza.
Io so che il valore assoluto associa ad un numero negativo il corrispettivo positivo, a zero associa zero, mentre lascia invariati i numeri positivo. Quindi ${ ( min(|-X|,1)=1 ),( min(|X|,1)=1 ),( min(|0|,1)=0 ),( min(|X|,1)=|x| ),( min(|X|,1)=|x| ):} {: ( se ),( se ),( se ),( se ),( se ) :}{: ( x<=1 ),( x>=1 ),( x=0 ),( 0<x<1 ),( -1<x<0 ) :}$ con $S(Y)=RR^+$ il supporto della $Y$. Qui ho sbagliato, in effetti.
La monotonia stretta della $Y$ è invece condizione necessaria per l'applicazione del seguente teorema. Cito:
"Sia $X$ una v.a. reale assolutamente continua con densità $f_X(x)$ e sia $g$ una funzione $RR->RR$ strettamente monotona. Allora anche $Y=g(X)$ è una v.a. reale e la sua densità è data dall'applicazione della seguente legge di trasformazione: $f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))|(dg^(-1)(y))/dy|$"
Data l'inversione dell'ordinamento $x_1=-7,x_2=5-> x_1<x_2rArr g(x_1)>g(x_2)$ ho sfruttato la simmetria della bilatera rispetto a $\mu=0$, cioè:
$mathbb(P)(-y<=X<=y)=2\mathbb(P)(0<=X<=y)=2[\int_(-\infty)^(y)1/2e^(-x)dx-\int_(-\infty)^(0)1/2e^(-x)dx]=2[-1/2e^(-y)+\infty+1/2-\infty]$
Quindi $F_Y(y)={ ( 0 ),( 1-e^(-y) ):}{: ( se ),( se ) :}{: ( x<=0 ),( x>0 ) :}rArrY~ Exp(1)$
