Lemma di Borel-Cantelli (prima parte)

Messaggioda 3m0o » 18/09/2019, 19:21

Salve, qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come poter dimostrare il seguente risutato?

Sia \( (\Omega, \mathfrak{F}, \mathbb{P} ) \) uno spazio di probabilità. Sia data la successione \( (G_n)_{n \in \mathbb{N}} \) di eventi in \( \mathfrak{F} \), consideriamo l'evento "c'è un infinità di valori di \( n \) per la quale \( G_n \) si realizza" e notiamo questo evento \( \lim \sup_{n\to \infty} G_n \)

a) Dimostra che
\[ \lim \sup_{n\to \infty} G_n = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} G_m \]

b) Dimostra che se \( \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(G_n) < \infty \) allora
\[ \mathbb{P}\begin{pmatrix}
\lim \sup_{n\to \infty} G_n
\end{pmatrix} = 0 \]

Non ho proprio idea da dove incominciare...
3m0o
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