Dubbio formula prob. sopravvivenza vettore aleatorio

Sto avendo difficoltà in questo esercizio non tanto per la difficoltà di capire cosa fare, quanto per la formula da applicare per la probabilità di sopravvivenza condizionata che non trovo da nessuna parte.
L'esercizio è banale:

Dato un vettore aleatorio in $RR^2$ con densità $ f_(XY)(x,y)={ ( 1/ye^(-x/y)e^(-y) ),( 0 ):}{: ( x;y>0 ),( x;y<=0 ) :} $, calcola $\mathbb(P)(X>k|Y=y)$.

Calcolo prima la densità marginale di $Y~Exp(1)$, che è $f_Y(y)=e^(-y)$, e poi la densità condizionata $X|Y~Exp(1/y)$, che è $f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y)$.

Ora, io so che nel continuo $F_(XY)(x,y):=\mathbb(P)(X<=x,Y<=y)=\int_(-\infty)^(y)[\int_(-\infty)^(x)f_(XY)(x,y)dx]dy$.
Vi chiedo: le stesse relazioni valgono anche in caso di condizionamento? Ovvero:

$F_(X|Y)(x|y):=\mathbb(P)(X<=x|Y<=y)=\int_(-\infty)^(y)[\int_(-\infty)^(x)f_(X|Y)(x|y)dx]dy$

Se così fosse è corretto scrivere $\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)f_(X|Y)(x|y)$ (con un unico integrale perchè una densità calcolata nel punto ha probabilità nulla)?

$ \mathbb(P)(X>k|Y=y)=(\mathbb(P)(x<X<=x+dx,y<=Y<y+dy))/(\mathbb(P)(y<=Y<y+dy))=(f_((X|Y))(x|y_0))/(f_(Y)(y_0)) $

Le densità vanno scritte meglio: sono $f_Y(y)= e^{-y}\mathbb{I}_{(0,+\infty)}(y)$ e $f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y)\mathbb{I}_{(0,+\infty)}(x).$

Ok, non le ho scritte in termini di funzione indicatrice, anche se in effetti sarebbe stato più "elegante" perchè in questo modo avrei dato risalto al fatto che sia $x$ che $y$ sono definite in $(0,+\infty)$.

questa formula certamente è vera

$\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)f_(X|Y)(x|y)dx$

ma dubito molto del ragionamento con cui ci sei arrivato.

Provando a ricostruire gli appunti ho ragionato così. Per la formula della densità condizionata discreta avrei $ \mathbb(P)(X>x|Y=y)=(\mathbb(P)(X>x,Y=y))/(\mathbb(P)(Y=y)) $ , ma siccome siamo nel continuo avere al denominatore una probabilità calcolata nel punto significa avere una probabilità nulla (quindi la scrittura non ha significato). Ciò impone il passaggio al limite $\mathbb(P)(X>x|Y=y)=(\mathbb(P)(x<X<=x+dx,y<=Y<y+dy))/(\mathbb(P)(y<=Y<y+dy))$, ma questa è proprio la definizione di densità condizionata continua. Ergo:

$\mathbb(P)(X>x|Y=y)=(\mathbb(P)(x<X<=x+dx,y<=Y<y+dy))/(\mathbb(P)(y<=Y<y+dy)):=(f_((XY))(x,y_0))/(f_(Y)(y_0)):=f_((X|Y))(x|y_0)$

D'altra parte so che $\mathbb(P)_(X,Y)(X<=x,Y<=y):=F_(XY)(x,y)$. Allora siccome:
- la ripartizione è la primitiva della densità;
- il condizionamento è rispetto al singolo punto, quindi non ho nessun integrale da $-\infty$ al punto come richiederebbe la definizione di ripartizione;
- devo calcolare $X>k$ (e non $X<=k$), devo invertire gli estremi di integrazione: non più da $-\infty$ a $k$ bensì da $k$ a $+\infty$.
Ne segue:

$S_(XY)(x,y_0):=1-F_(XY)(x,y_0)=\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)f_((X|Y))(x,y_0)dx$

Comunque il tuo ragionamento continua a schricchiolare; parli di passaggio al limite ma non scrivi nessun limite e finisci per trovarti con uguaglianze false, come questa: $\mathbb{P}(X>x|Y=y_0)=f_{(X|Y)}(x|y_0)$.

mmm… allora… la densità è definita:

$f_X(x):=lim_(dx->0)(F_X(x+dx)-F_X(x))/(dx)$, con $(F_X(x+dx)-F_X(x))/(dx):=(\mathbb(P)(x<=X<=x+dx))/(dx)$.

quindi dovrei poter scrivere:

$\mathbb(P)(X<=k|y<=Y<=y+dy)=(F_(XY)(y+dy,k)-F_(XY)(y,k))/(F_Y(y+dy)-F_Y(y))rArrlim_(dy->0)(F_(XY)(y+dy,k)-F_(XY)(y,k))/(F_Y(y+dy)-F_Y(y))=(f_(XY)(y,k))/(f_Y(y))=\mathbb(P)(X<=k|Y=y)$

che è proprio la definizione di densità condizionata $f_((X|Y))(x|y)$. Allora, siccome derivando al limite la ripartizione ho trovato la densità, integrando la densità ottengo la ripartizione (cioè la mia probabilità):

$\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)(f_(XY)(x,y))/(f_Y(y))=\int_(k)^(+\infty)f_((X|Y))(x|y)$

dovrebbe filare. mi ci sto infognando da due ore.

in ogni caso, sebbene ritengo comunque necessario capire la ragione che c'è dietro le cose, l'obiettivo del post era cercare di mettere chiarezza sulle formule da usare in caso di "condizionamento rispetto ad un singolo valore" e con v. condizionata $>,<$ di un certo valore.
per questo ti chiederei gentilmente se tu, o chiunque voglia, di definire le diverse formule adatte ai diversi casi.

l'obiettivo del post era cercare di mettere chiarezza sulle formule da usare in caso di "condizionamento rispetto ad un singolo valore" e con v. condizionata $>,<$ di un certo valore.
per questo ti chiederei gentilmente se tu, o chiunque voglia, di definire le diverse formule adatte ai diversi casi.

Per l'esercizio in questione, senza tutta quella pletora di calcoli, una volta calcolata la marginale $f_Y(y)=e^(-y)$ basta osservare che

$f(x,y)=f(y)f(x|y)$ e dunque

$f_(X|Y)(x|y)={{: ( 1/ye^(-x/y) , ;x>0;y>0 " (fissato)"),( 0 , ; " altrove" ) :}$

ovvero un'esponenziale di media $y$

Ora, avendo fissato $Y=y$, $1/y$ è diventato il parametro della nuova esponenziale....

A questo punto calcoli tutto ciò che vuoi...per cui $mathbb{P}[X>k|Y=y]=e^(-k/y)$; $y>0$

^^^^^^^^^^^^^
Visto che oggi ho un po' di tempo libero ti metto giù un esempio esplicativo (più semplice del tuo) ma più malleabile.....più gli esempi sono semplici e più chiariscono le cose, secondo me.

Prendiamo la seguente variabile doppia (una uniforme sul triangolo di vertici $(0;0)$, $(1;1)$, $(0;1)$)

$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;0<x<y<1 ),( 0 , ;"altrove" ) :}$

con densità marginale di Y facilmente calcolabile in $f_Y(y)=2y$; $0<y<1$

e vediamo come calcolare $mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]$

La cosa più semplice ed immediata è calcolare la densità condizionata (che è definita, essendo $f_Y(3/4)=3/2>0$) e quindi otteniamo

$f_(X|Y)(x|y)=2/(2y)=1/y$

dove evidentemente deve essere
$0<x<y$
$0<y<1$

Fatto questo, per calcolare $mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]$ non resta che integrare la densità condizionata a $Y=3/4$ nell'intervallo richiesto, ovvero non resta che calcolare

$int_0^(1/2)4/3dx=2/3$

fine della soluzione breve (e consigliata)

Va da sé che se integriamo tutta la densità condizionata sul suo supporto otteniamo¹

$int_0^(3/4)4/3dx=1$ come deve essere (i torni contano!)

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Vediamo come risolvere il problema volendo per forza farsi del male.....

Posso pensare di calcolare

$mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]=mathbb{P}[X<1/2|3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]$

con ovviamente $0<=epsilon<=1/4$

A questo punto dobbiamo usare la solita definizione della probabiità condizionata e quindi otteniamo

Numeratore:

$mathbb{P}[X<1/2;3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]=2int_0^(1/2)dxint_(3/4-epsilon)^(3/4+epsilon)dy=2epsilon$

Denominatore:

$mathbb{P}[3/4-epsilon<=Y<=3/4+epsilon]=int_(3/4-epsilon)^(3/4+epsilon)2ydy=3epsilon>0$

e dunque

$mathbb{P}[X<1/2|Y=3/4]=(2epsilon)/(3epsilon)=2/3$ come ottenuto prima senza tutto sto po'po' di integrali e, in questo caso, senza nemmeno dover calcolare limiti.....tieni presente che ho preso una densità uniforme, quindi con integrali immediati da calcolare....se le cose si complicano i calcoli possono diventare presto improponibili ai Cristiani...

---

Note

1. uso gli integrali per dare una soluzione di carattere generale; nel caso in oggetto, con distribuzione uniforme si potrebbe tranquillamente risolvere il tutto con semplici calcoli delle aree di interesse: rettangolo e triangolo
   
   $[(3/4+epsilon)-(3/4-epsilon)]/[(3/4+epsilon)^2-(3/4-epsilon)^2]=2/3$ ↑