Dubbio formula prob. sopravvivenza vettore aleatorio
Inviato: 19/09/2019, 17:15
Sto avendo difficoltà in questo esercizio non tanto per la difficoltà di capire cosa fare, quanto per la formula da applicare per la probabilità di sopravvivenza condizionata che non trovo da nessuna parte.
L'esercizio è banale:
Calcolo prima la densità marginale di $Y~Exp(1)$, che è $f_Y(y)=e^(-y)$, e poi la densità condizionata $X|Y~Exp(1/y)$, che è $f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y)$.
Ora, io so che nel continuo $F_(XY)(x,y):=\mathbb(P)(X<=x,Y<=y)=\int_(-\infty)^(y)[\int_(-\infty)^(x)f_(XY)(x,y)dx]dy$.
Vi chiedo: le stesse relazioni valgono anche in caso di condizionamento? Ovvero:
Se così fosse è corretto scrivere $\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)f_(X|Y)(x|y)$ (con un unico integrale perchè una densità calcolata nel punto ha probabilità nulla)?
L'esercizio è banale:
Dato un vettore aleatorio in $RR^2$ con densità $ f_(XY)(x,y)={ ( 1/ye^(-x/y)e^(-y) ),( 0 ):}{: ( x;y>0 ),( x;y<=0 ) :} $, calcola $\mathbb(P)(X>k|Y=y)$.
Calcolo prima la densità marginale di $Y~Exp(1)$, che è $f_Y(y)=e^(-y)$, e poi la densità condizionata $X|Y~Exp(1/y)$, che è $f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y)$.
Ora, io so che nel continuo $F_(XY)(x,y):=\mathbb(P)(X<=x,Y<=y)=\int_(-\infty)^(y)[\int_(-\infty)^(x)f_(XY)(x,y)dx]dy$.
Vi chiedo: le stesse relazioni valgono anche in caso di condizionamento? Ovvero:
$F_(X|Y)(x|y):=\mathbb(P)(X<=x|Y<=y)=\int_(-\infty)^(y)[\int_(-\infty)^(x)f_(X|Y)(x|y)dx]dy$
Se così fosse è corretto scrivere $\mathbb(P)(X>k|Y=y)=\int_(k)^(+\infty)f_(X|Y)(x|y)$ (con un unico integrale perchè una densità calcolata nel punto ha probabilità nulla)?