Esercizio trovare la distribuzione

[luca_95_]

Buonasera,
scrivo perché vorrei un aiuto per capire come procedere in questo esercizio di statistica. Premetto che sto iniziando ora, quindi non sono per niente ferrato.

L'esercizio mi dà il quadrato unitario con una retta passante per il punto (1/2,1/2) che fa angolo \phi tra 0 e \pi radianti (in senso antiorario) con l'asse dell'ordinata.
L'angolo è scelto secondo la distribuzione U[0,\pi].
Sia L la lunghezza del segmento di questa retta che sta all'interno del quadrato unitario, mi chiede di trovare la distribuzione e la media di L.

In più per aiutarmi mi hanno detto che la distribuzione di L è come 1/cos(U) dove U è uniforme su (0,\pi/4) (Ma non ho capito perché posso dirlo..)

Mi potete aiutare senza darmi il risultato finale? Vorrei capire soprattutto il procedimento.

[tommik]

In più per aiutarmi mi hanno detto che la distribuzione di L e' come 1/cos(U) dove U e' uniforme su (0,\pi/4) (Ma non ho capito perché posso dirlo..)

Ammesso di aver capito qualche cosa dal blando riassunto e dagli sgorbi che hai scritto al posto della traccia, il disegno è questo:

(cliccami per ingrandirmi)


Dai lontani studi delle superiori (le tue superiori, perché io ho fatto Ragioneria e quindi non dovrei saperlo) dovresti ricordare che

$bar(AC)=bar(BC)/(costheta)=1/2 1/costheta$

e che $L=bar(A A')=2 bar(AC)=1/costheta$

ecc ecc...

Ma soprattutto, @luca_95_, dopo sei, dico sei anni (quasi sette) di partecipazione al forum ti pare accettabile postare UNA PORCHERIA DI MESSAGGIO come ciò che hai fatto?

[luca_95_]

Chiedo scusa, ma la traccia che ho mi è stato data esattamente cosi. Ti ringrazio comunque

[tommik]

Chiedo scusa, ma la traccia che ho mi è stato data esattamente cosi. Ti ringrazio comunque

L'esercizio mi da un quadrato unitario

un quadrato unitario è un qualunque quadrato con lato 1....chi ti dice che il quadrato sia esattamente quello che ho dovuto immaginare e disegnare io?

Diverso sarebbe stato

L'esercizio mi dà (con l'accento, perché "da" è preposizione semplice) IL QUADRATO UNITARIO

EDIT:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

per terminare l'esercizio, una volta capito il suggerimento, basta usare una semplice trasformazione di variabile trovando subito

$f_Y(y)=4/(pi y^2sqrt(1-1/y^2))mathbb{1}_((1;sqrt(2)))(y)$

di media $mathbb{E}[Y]~~1.12$


(ho indicato con Y la lunghezza del segmento)

[luca_95_]

Ok, ho provato a scrivere il procedimento. Spero sia corretto perché è la prima volta che svolgo un esercizio del genere.

Trasformazione di variabile:
Considero i 4 intervalli [0;\(\displaystyle \pi \)/2), (\(\displaystyle \pi \)/2;\(\displaystyle \pi \)], [\(\displaystyle \pi \);3\(\displaystyle \pi \)/2),(3\(\displaystyle \pi \)/2;2\(\displaystyle \pi \)).

Applico la formula \(\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(g(y))\left|\frac{d g(y)}{d y}\right| \) per ognuno dei 4 intervalli.

Nel caso in cui ci troviamo nell'intervallo [0;\(\displaystyle \pi \)/2) abbiamo che \(\displaystyle X=g_{1}(y)=\operatorname{arcsec}(y) \)
la cui derivata vale \(\displaystyle 1/(x^2\sqrt{1 - (1/x^2)}) \)

Adesso ho un dubbio, \(\displaystyle p_{X}\left(g_{1}(y)\right) \) non ho capito come calcolarlo