Distribuzione media Campionaria

[squalllionheart]

Allora premesso che posso risolvere l'asserto con il teorema del limite centrale, ho visto che si potrebbe fare anche con l'uso della fuzione generatrice. Visto che poi che chi s'accontenta gode ma chi non s'accontenta stragode...vorrei vederlo anche nel dettaglio secondo questo approccio.
Allora abbiamo la variabile aleatoria definita dalla statistica (anche detto stimatore) media campionaria:
$\bar{X}_n=\frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}X_i$

Voglio calcolare la funzione generatrice di questa variabile aleatoria, ho iniziato ponedo:
$G_X(t)=\mathbb{E}[exp{tX}]=\mathbb{E}[exp{t\frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}X_i}]$
Come procedo?

[tommik]

Non è un approccio ottimale; serve in casi particolari. Devi usare le proprietà della fgm.

1) La fgm della somma di n variabili indipendenti è il prodotto delle fgm

2) la fgm $M_(Y/n)(t)=M_Y(t/n)$

Il problema però è che dopo aver calcolato la fgm della media campionaria ne devi riconoscere la distribuzione... e quindi se non è una distribuzione nota ti blocchi.


Prova con n Poisson i.i.d.

Oppure potresti provare che, al crescere di n, la binomiale tende ad una poisson