Distribuzione bivariata

Messaggioda mobley » 25/09/2019, 16:51

C'è un punto di un esercizio in cui chiede di determinare il valore della costante $c$ nota la densità congiunta $f(x,y)=c(y^2-x^2)e^(-y)$ e gli intervalli $-y<=x<=y$, $0<y<+\infty$.
Ritengo che il procedimento sia corretto ma non capisco perchè non arrivo al risultato ($c=1/8$) bensì ad un'equazione di quarto grado irriducibile.
Mi limito ad applicare la definizione di densità congiunta continua e ottengo:
$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0<Y<+\infty)]$

$=\mathbb(P)[0<=X<=Y<\infty]=c\int_(x)^(+\infty)[\int_(0)^(y)(y^2-x^2)e^(-y)dx]dy$

Risolvendo il primo integrale ottengo $2/3y^3e^(-y)$, mentre risolvendo ripetutamente per parti il secondo integrale ottengo $c[4x^4-4x^3-2x+1]=0$.
Dove sbaglio?
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Re: Trova $c$

Messaggioda mobley » 26/09/2019, 09:38

arnett ha scritto:
mobley ha scritto:
$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0<Y<+\infty)]$



Quest'uguaglianza è falsa e non capisco da dove salti fuori, per il resto ciò che bisogna imporre è che \[\int_{\mathbb{R}^2} f_{(X, Y)}(x, y) dxdy=1\]. Questa risulta essere un'equazione di primo grado in $c$: $x$ e $y$ devono sparire integrando. Riprova postando qualche calcolo.


Si, in effetti lo è :oops: Comunque non l'ho nemmeno guardata con attenzione a dire il vero… Come hai detto tu ho uguagliato l'integrale doppio su $\mathbb(R)$ a 1 e ho svolto i calcoli. Mi serviva soltanto la probabilità congiunta per cercare gli intervalli di integrazione corretti per le due variabili. Per farti un esempio, nel caso univariato con $f(x)=c|x|,\forall x\in[-1,1]$, avevo:
$1=\int_(\mathbb(R))f(x)dx=\int_(-\infty)^(-1)f(x)dx+\int_(-1)^(1)f(x)dx+\int_(1)^(+\infty)f(x)dx=\int_(-1)^(1)f(x)dx rArr c=1$

con l'intervallo di integrazione che corrispondeva esattamente all'intervallo di definizione della densità. Quindi ho cercato di replicare lo stesso ragionamento nel caso bivariato: siccome $\mathbb(P)[(-y<=X<=y) nn (0<Y<+\infty)]$, allora ho scritto $1=\int_(x)^(+\infty)[\int_(0)^(y)f_(XY)(x,y)dx]dy$.

Immagine

Quindi dall'integrale più interno ottengo $2/3y^3e^(-y)$, e via degenerando (purtroppo) con l'integrale più esterno e con ripetute integrazioni per parti.
Riproverò adesso a fare i conti anche per questo esercizio e vedrò di postare i risultati.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Diverse fonti: 1) appunti del docente; 2) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze - Boella; 3) Statistica - Piccolo; 4) Probabilità e Statistica - Piazza; 5) Calcolo delle probabilità - Sheldon Ross; 6) Calcolo delle probabilità - Dall'Aglio + gli appunti miei e di un collega
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Re: Trova $c$

Messaggioda tommik » 26/09/2019, 10:15

Va beh dai...se no 'sto stillicidio non finisce più.

Mai visto in tutta la tua carriera la Gamma di Eulero?

Se dovessi risolvere $int_0^(+oo)y^100e^(-y)dy$ che fai? lo fai 100 volte per parti?

L'integrale in questione si risolve in due passaggi nel seguente modo

Immagine

$int_(0)^(+oo)dyint_(-y)^(y)[y^2e^(-y)-x^2e^(-y)]dx=2int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy-2/3int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy=2xx3!-2/3xx3! =8$

da cui evidentemente $c=1/8$

Con l'uso della medesima funzione gamma risolvi in due passaggi anche l'esercizio precedente (quello sulla poisson condizionata)
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Re: Distribuzione bivariata

Messaggioda mobley » 26/09/2019, 16:47

Grazie ad entrambi per le risposte.
Si, ho decisamente sentito parlare di Gamma di Eulero ( :-D ) ma non credevo che il suo utilizzo fosse così diffuso. E' quindi chiaro che grazie alla Gamma gran parte degli integrali si risolvono immediatamente.

arnett ha scritto:Pure l'altro esempio che tu dici, $int_{\RR} |x|\mathbb{I}_{(-1,1)}(x)dx$, non c'è bisogno di fare integrali.

In realtà qui, sempre partendo dalla normalizzazione, ho usato la linearità dell'integrale e la definizione di modulo ponendo $-x$ dove è negativo e $x$ dove è positivo. Quindi $c=1$.
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Re: Calcolo densità marginali

Messaggioda mobley » 01/10/2019, 14:25

tommik ha scritto:no. bisogna fare il disegno e poi ragionare


Eh, io ci sto provando ma non ci riesco. In questo caso ho fatto così:

Immagine

In quello dove invece l'altro giorno mi hai aiutato a trovare la costante di $f(x,y)=c(y^2-x^2)e^(-y)$, sto provando a ragionare graficamente come mi hai consigliato (mi rendo conto di quanto in effetti sia importante) ma non ci arrivo. Scelgo di integrare prima rispetto ad $x$, cioè per $-y<=x<=y$, e ok. Graficamente $x$ è compreso nel segmento $(-y,y)$ e $(-\infty,+\infty)$, per cui la variabile "semplice" in $y$ dovrebbe avere come intervallo di integrazione gli estremi dell'area aggiuntiva, cioè $(y,+\infty)$. Eppure l'integrale esterno è tra $0$ e $+\infty$.
Scelgo invece di integrare prima rispetto ad $y$, cioè per $0<y<+\infty$. Graficamente $y$ è compreso in tutto il primo quadrante, per cui la variabile "semplice" in $x$ dovrebbe avere come intervallo di integrazione gli estremi dell'area aggiuntiva $(0,-y)$. Eppure integrando in questo modo non ottengo $c=1/8$ come invece ottengo nel caso inverso.
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Re: Distribuzione bivariata

Messaggioda tommik » 01/10/2019, 15:09

Come detto e ripetuto....non si può fare Statistica con queste fragili basi matematiche.....anzi, di può farla, passando anche l'esame, ma non si può comprenderla.

(click per ingrandire)
Immagine

Integrazione y-semplice (consigliata)

$int_0^(+oo)dyint_(-y)^(y)f(x,y)dx$

Integrazione x-semplice (sconsigliata)

$int_(-oo)^0dx int_(-x)^(+oo)f(x,y)dy+int_(0)^(+oo)dx int_(x)^(+oo)f(x,y)dy$

Non è consentito inserire immagini al posto delle formule.....cerco di essere paziente ma la pazienza non è infinita....
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