arnett ha scritto:mobley ha scritto:$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0<Y<+\infty)]$
Quest'uguaglianza è falsa e non capisco da dove salti fuori, per il resto ciò che bisogna imporre è che \[\int_{\mathbb{R}^2} f_{(X, Y)}(x, y) dxdy=1\]. Questa risulta essere un'equazione di primo grado in $c$: $x$ e $y$ devono sparire integrando. Riprova postando qualche calcolo.
Si, in effetti lo è
Comunque non l'ho nemmeno guardata con attenzione a dire il vero… Come hai detto tu ho uguagliato l'integrale doppio su $\mathbb(R)$ a 1 e ho svolto i calcoli. Mi serviva soltanto la probabilità congiunta per cercare gli intervalli di integrazione corretti per le due variabili. Per farti un esempio, nel caso univariato con $f(x)=c|x|,\forall x\in[-1,1]$, avevo:
$1=\int_(\mathbb(R))f(x)dx=\int_(-\infty)^(-1)f(x)dx+\int_(-1)^(1)f(x)dx+\int_(1)^(+\infty)f(x)dx=\int_(-1)^(1)f(x)dx rArr c=1$
con l'intervallo di integrazione che corrispondeva esattamente all'intervallo di definizione della densità. Quindi ho cercato di replicare lo stesso ragionamento nel caso bivariato: siccome $\mathbb(P)[(-y<=X<=y) nn (0<Y<+\infty)]$, allora ho scritto $1=\int_(x)^(+\infty)[\int_(0)^(y)f_(XY)(x,y)dx]dy$.
Quindi dall'integrale più interno ottengo $2/3y^3e^(-y)$, e via degenerando (purtroppo) con l'integrale più esterno e con ripetute integrazioni per parti.
Riproverò adesso a fare i conti anche per questo esercizio e vedrò di postare i risultati.
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Diverse fonti: 1) appunti del docente; 2) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze - Boella; 3) Statistica - Piccolo; 4) Probabilità e Statistica - Piazza; 5) Calcolo delle probabilità - Sheldon Ross; 6) Calcolo delle probabilità - Dall'Aglio + gli appunti miei e di un collega