Varianza con valore atteso

[albertocorra]

Buongiorno,
Io non riesco a dimostrare che dalla formula $VAR(X)=\sigma^2=E(X-\bar X_x)^2$ ad arrivare a questa formula
$VAR(X)=\sigma^2=\sum_{k=1}^N \pi_x(X_k-\bar X_x)^2$

Sono partito svolgendo il quadrato:
$\sigma^2=E(X)^2+E(\bar X_x)^2-2E(X*\bar X_x)$

io so che $E(X)=\sum_{k=1}^N \pi_x*X_k$ quindi ho sostituito

$\sigma^2=(\sum_{k=1}^N \pi_x*X_k)^2-2\sum_{k=1}^N \pi_x*X_k*\bar X_x+E(\bar X_x)^2$

Ecco non riesco a capire a cosa è uguale $E(\bar X_x)^2$ cioè come lo devo sostituire per continuare??

[tommik]

$VAR(X)=\sigma^2=E(X-\bar X_x)^2$

Questa quantità (non so come altro definirla) non esiste. Quindi se l'hai presa dagli appunti buttali e consulta il testo.

In Statistica abbiamo

1) la varianza della popolazione, definita come $sigma^2=mathbb{E}[X-mu_x]^2$

2) la varianza campionaria, definita come $S^2=mathbb{E}[X-bar(X)_n]^2$

In entrambi i casi non vi è nulla da dimostrare ma solo da accettare una definizione


1)
$sigma^2=int_(RR)(x-mu)^2dF(x)$ che, a seconda che la variabile sia continua o discreta, assume due configurazioni differenti

Variabile discreta: $sigma^2=Sigma_x[x-mu]^2p(x)$

Variabile continua: $sigma^2=int_(RR)(x-mu)^2f(x)dx$

2)
.... trovi tutto su qualunque libro quindi non sto a dettagliare i passaggi

[albertocorra]

Ok intendevo scrivere questa (non trovavo $mu_x$): $ sigma^2=mathbb{E}[X-mu_x]^2 $

Scusa se insisto ma quello che intendevo io è se da questa formula $ sigma^2=mathbb{E}[X-mu_x]^2 $, riuscivo ad arrivare a quella della variabile discreta $ sigma^2=Sigma_x[x-mu]^2p(x) $, sviluppando la prima e utilizzando la definizione di valore atteso....senza utilizzare l'integrale...è una cosa possibile o queste formule si prendono così come sono e mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua??

Grazie

[tommik]

E' la definizione di media aritmetica (discreta), non c'è nulla da dimostrare¹.

$mathbb{E}[X]=sum_(i=1)^n X_i p(x_i)$

Invece confondere la media della popolazione con quella campionaria è un GRAVE errore (se è solo un refuso lascia perdere altrimenti corri a studiarne i dettagli)

In particolare come si arriva a dire che

$Sigma_i[X_i-bar(X)_n]^2=Sigma_i[X_i-mu_x]^2-n(bar(X)_n-mu_x)^2$

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Note

1. prendi la definizione di media aritmetica ponderata e ricorda che, per una variabile casuale, la somma delle $p(x)=1$ ↑