[EX] Calcolo media e varianza

[tommik]

Per chiunque voglia:

Data la densità

$f_(XY)(x,y)={ {: ( e^(-y)/y , ; 0<x<y<+oo ),( 0 , ;" altrove" ) :}$

Calcolare media e varianza di $X$

Così non butto via un esercizio che ho inventato per spiegare altro ad un utente (esercizio semplice ma, a mio avviso, utile)

$mathbb{E}[X]=1/2$

$V[X]=5/12$

[gugo82]

Come ben sai, su queste cose sono piuttosto arrugginito…

Mi ricordi le definizioni?
Se non vado errato:
\[
\mathbb{E}[X] = \intop_{-\infty}^{+\infty} \intop_{-\infty}^{+\infty} xy\ f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
giusto?
Mentre la varianza dovrebbe essere una cosa tipo:
\[
\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\; ,
\]
ma non ricordo come impostare l’integrale…

[tommik]

Il valore atteso che hai scritto tu è $mathbb{E}[XY]$

Però esiste anche questo (Teorema fondamentale della media)

$E[g(X,Y)]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo) g(x,y)f(x,y)dxdy$

(Se l'integrale esiste finito)

...ora ponendo $g(x,y)=x$ si può risolvere.

Il problema (ripeto, inventato) è interessante in quanto normalmente per calcolare la media di X ci si calcola $f(x)$ e poi se ne fa la media. Ho scelto un esempio in cui la $f(x)$ non è esprimibile elementarmente....di qui la necessità di trovare altra via. Anche per la via che ho suggerito, l'integrale doppio si può risolvere analiticamente solo integrando nell'opportuno ordine....tutto qui

Per la varianza si sfrutta il fatto che $V[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

era un esercizio per mostrare che non sempre l'ordine di integrazione è indifferente...a volte è più comodo un ordine rispetto all'altro ma a volte invertire l'ordine di integrazione porta ad integrali irrisolvibili elementarmente

[gugo82]

Ah, ok, forse avevo interpretato male la notazione.
Vediamo se ho capito: la $f_{XY}$ è una densità congiunta di due vv.aa. $X$ ed $Y$ e tu stai chiedendo di calcolare la media e la varianza solo di $X$?
Ci sono?

[tommik]

Yes....perché l'altra non presenta problemi...si calcola subito la densità $f(y)$ e da lì media e varianza

E' un esempio abbastanza banale ma spesso molti cascano in una spirale irrisolvibile cercando di calcolare la densità di X

[gugo82]

Ok, allora vediamo che si può fare per la media…

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ciò che verrebbe in mente di fare è calcolare la densità $f_X$ di $X$ saturando $Y$ con una bella integrazione definita e poi calcolare la media di $X$ con la solita formula.
Visto che il supporto della densità congiunta è l’angolo formato dalla bisettrice del primo quadrante e dal semiasse positivo delle ordinate, abbiamo:
\[
f_X (x) = \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\; ,
\]
espressione che dobbiamo tenerci così com’è, dato che (come noto dai corsi di Analisi I… o, almeno, io lo dicevo) la funzione $y \mapsto (e^(-y))/y$ non è elementarmente integrabile.
Ora, per definizione, abbiamo:
\[
\begin{split}
\mathbb{E}[X] &:= \intop_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x)\ \text{d} x \\
&= \int_0^{+\infty} x\ \left( \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\right)\ \text{d} x
\end{split}
\]
e l’ultimo integrale si può calcolare in due maniere, una elementare (con trucchi da Analisi I) e l’altra pure (ma con trucchi da Analisi II).
Infatti:

1. integrando per parti con fattore differenziale $x$, calcolando limiti ed integrando di nuovo per parti ma con fattore finito $x$, otteniamo:
   \[
   \begin{split}
   \mathbb{E}[X] &= \int_0^{+\infty} x\ \left( \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\right)\ \text{d} x \\
   &= \left. \frac{1}{2} x^2\ \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\right|_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \frac{1}{2} x^2\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\right]\ \text{d} x \\
   &= 0 + \frac{1}{2}\ \int_0^{+\infty} x\ e^{-x}\ \text{d} x \\
   &= \left. - \frac{1}{2}\ (x + 1)\ e^{-x}\right|_0^{+\infty} \\
   &= \frac{1}{2}
   \end{split}
   \]
   (dai, questa è bella! Scommetto che non ci avevi pensato! );
   
   
2. oppure, osservando che l’integrale che definisce la media è un integrale iterato e che la funzione integranda di due variabili $(x e^(-y))/y$ è positiva sul supporto della densità congiunta, si può applicare il teorema di Fubini & Tonelli per scambiare l’ordine di integrazione:
   \[
   \begin{split}
   \mathbb{E}[X] &= \int_0^{+\infty} x\ \left( \int_x^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \text{d} y\right)\ \text{d} x \\
   &= \int_0^{+\infty} \frac{e^{-y}}{y}\ \left( \int_0^y x\ \text{d} x\right)\ \text{d} y \\
   &= \frac{1}{2}\ \int_0^{+\infty} y\ e^{-y}\ \text{d} y \\
   &= \left. -\frac{1}{2}\ (y+1)\ e^{-y}\right|_0^{+\infty} \\
   &= \frac{1}{2} \; .
   \end{split}
   \]

Per la varianza lascio spazio ad altri… Se poi non si vede nessuno, scrivo qualcosa.

[tommik]

bellissima la soluzione 1). Io da "praticone" ho risolto col metodo 2¹. La 1) non pensavo fosse una strada percorribile...certo ora che l'hai spiegato è tutto molto logico....ho imparato una cosa nuova

---

Note

1. si calcola media e varianza in due passaggi e vedo che il risultato torna ↑