Il valore atteso che hai scritto tu è $mathbb{E}[XY]$
Però esiste anche questo (Teorema fondamentale della media)
$E[g(X,Y)]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo) g(x,y)f(x,y)dxdy$
(Se l'integrale esiste finito)
...ora ponendo $g(x,y)=x$ si può risolvere.
Il problema (ripeto, inventato) è interessante in quanto normalmente per calcolare la media di X ci si calcola $f(x)$ e poi se ne fa la media. Ho scelto un esempio in cui la $f(x)$ non è esprimibile elementarmente....di qui la necessità di trovare altra via. Anche per la via che ho suggerito, l'integrale doppio si può risolvere analiticamente solo integrando nell'opportuno ordine....tutto qui
Per la varianza si sfrutta il fatto che $V[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$
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era un esercizio per mostrare che non sempre l'ordine di integrazione è indifferente...a volte è più comodo un ordine rispetto all'altro ma a volte invertire l'ordine di integrazione porta ad integrali irrisolvibili elementarmente