Somma e rapporto di Gamma

[mobley]

L'esercizio è il seguente. Siano X e Y due v.a. Gamma indipendenti rispettivamente di parametri $(\alpha_1,\beta)$ e $(\alpha_2,\beta)$. Determina la densità congiunta di $(U,V)$ noto che $U=X+Y$ e $V=X/Y$.

Applico la trasformazione $g={ ( x+y=u ),( x/y=v ):}$, calcolo il modulo dello jacobiano $(u)/((v+1)^2)$ e applico la formula per la densità congiunta tra due operazioni di densità incognita, ovvero

$f_{(UV)}(u,v):=f_X(x)f_Y(y)|det[J(x,y)]|$

dove $x=(uv)/(v+1)$ e $y=(u)/(v+1)$. Arrivo a scrivere che

$f_{(UV)}(u,v)=(\beta^(\alpha_1+\alpha_2))/(\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2))e^(-\betau)u^(\alpha_1+\alpha_2-1)(v/(v+1))^(\alpha_1-1)((1)/(v+1))^(\alpha_2+1)$

quindi ho pensato di moltiplicare e dividere per $\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)$ così da avere una Gamma di parametri $(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$. Così facendo, però, non saprei continuare perchè rimango sempre con

$(\Gamma(\alpha_1+\alpha_2))/(\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2))((v)/(v+1))^(\alpha_1-1)((1)/(v+1))^(\alpha_2+1)$

Non so se c'è un qualche modo per ridurli a formule notevoli, semplificarli etc.

[tommik]

non ho guardato tutti i conti ma mi pare un esercizio brutto, semplice e poco utile (di soli calcoli senza il minimo apporto ragionato)

prendendo per buono i conti fatti, si vede subito che la densità congiunta $f(u,v)$ si fattorizza così


$f(u,v)=beta^(alpha_1+alpha_2)/(Gamma(alpha_1+alpha_2))u^(alpha_1+alpha_2-1)e^(-betau)mathbb{1}_((0;+oo))(u) xx( v^(alpha_1-1)(1+v)^(-(alpha_1+alpha_2)))/(B(alpha_1,alpha_2))mathbb{1}_((0;+oo))(v)$

ovvero è il prodotto di due densità indipendenti: la prima è una gamma di parametri che vedi e che sapevi anche prima di iniziare (per la proprietà riproduttiva della gamma)...la seconda onestamente non so che distribuzione sia...ma basta guardarsi un po' in giro e la si trova di sicuro.....ad ogni modo i conti tornano ed è effettivamente una densità

già @arnett ti ha fatto notare che scrivere una densità senza l'indicazione del supporto è un errore....io ti rammento che è un errore GRAVE....poi fai un po' come ti pare....

[mobley]

Grazie tommik. Quindi lascio la parte che non riesco a ricondurre ad altre distribuzioni così com'è. Perchè però parli di indipendenza? Da cosa si capisce che la prima gamma è indipendente dalla seconda quantità?

[tommik]

Perchè però parli di indipendenza?

c'è una densità congiunta che è una moltiplicazione fra due densità....c'è una proprietà che dice che due variabili sono indipendenti se e solo se

$f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

ti serve altro?

[mobley]

Perchè però parli di indipendenza?

c'è una densità congiunta che è una moltiplicazione fra due densità....c'è una proprietà che dice che due variabili sono indipendenti se e solo se

$f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

ti serve altro?

Non mi serve altro grazie Intendevo dire come fai ad affermare che si tratta di indipendenza tra densità se non conosciamo a quale distribuzione ricondurre quella seconda quantità. Comunque un risultato utile potrebbe essere quello fornito da Ross (pag. 313):

$B(\alpha,\beta)=(\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta))/(\Gamma(\alpha+\beta))$

[tommik]

prendendo per buono i conti fatti, si vede subito che la densità congiunta $f(u,v)$ si fattorizza così


$f(u,v)=beta^(alpha_1+alpha_2)/(Gamma(alpha_1+alpha_2))u^(alpha_1+alpha_2-1)e^(-betau)mathbb{1}_((0;+oo))(u) xx( v^(alpha_1-1)(1+v)^(-(alpha_1+alpha_2)))/(B(alpha_1,alpha_2))mathbb{1}_((0;+oo))(v)$

hai letto come ho fattorizzato la congiunta? Come ho detto si verifica facilmente che la seconda quantità (quella dopo il $xx$ è effettivamente una densità...ma non ho tempo di controllare come si chiama)

..fine.

[mobley]

hai letto come ho fattorizzato la congiunta?

Si, ho letto e concordo. L'unica cosa che non capisco è perchè poni al denominatore $B(\alpha_1+\alpha_2)$ mentre dal risultato del Ross andrebbe $B(\alpha_1,\alpha_2)$. Chiederò al docente in caso.
Grazie ancora

[tommik]

ah va beh.... un refuso... è giusto $B(alpha_1,alpha_2)$ è una funzione beta

ora ho corretto

.....e comunque pensandoci qualche minuto con la dovuta calma (cioè a casa e non in ufficio fra un problema ed un altro) la seconda densit๠si trova subito come trasformazione monotona di una distribuzione beta² (se poi tale legge sia anche codificata con un nome non lo so...)

Posto infatti $X~"Beta"(alpha_2,alpha_1)$ ovvero $f_X=1/(B(alpha_1,alpha_2))x^(alpha_2-1)(1-x)^(alpha_1-1)mathbb{1}_((0;1))(x)$


...si ha che $Y=1/X-1$ segue la legge in oggetto...basta una semplice trasformazione monotona per rendersene conto

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Note

1. $f_V(v)=( v^(alpha_1-1)(1+v)^(-(alpha_1+alpha_2)))/(B(alpha_1,alpha_2))mathbb{1}_((0;+oo))(v)$ ↑
2. per fare questo, onestamente, ci vuole l'occhio allenato ↑