Trasformazione di v.a. uniformi i.i.d.

[mobley]

Siano X e Y indipendenti e somiglianti (c'è differenza?! ) con distribuzione uniforme in $(0,1)$.
a) Calcola la distribuzione congiunta di $U=X$ e $V=X+Y$.
b) Utilizza il risultato precedente per ottenere la legge marginale di $V$.

Il punto a) restituisce $f_{(UV)}(u,v)=\mathbb(1)_{(0<u<1)}(u)\mathbb(1)_{(u<v<1+u)}(v)-= \mathbb(1)_{(0<u<1)}(u)\mathbb(1)_{(v-1<u<v)}(v)$.
Il punto b) non capisco come svolgerlo. So che $f_V(v):=\int_(U)\mathbb(1)_{(0<u<1)}(u)\mathbb(1)_{(v-1<u<v)}(v)du$ e che $0<v-1<u<v<1$ ma non riesco a definire gli estremi di integrazione.
Qualcuno può darmi una dritta?

[tommik]

la densità di V viene una distribuzione triangolare


$f_V(v)=[1-|1-v|]mathbb{1}_((0;2))(v)$

e si risolve anche senza questa procedura...gli estremi di integrazione?

Mi trovo in difficoltà a spiegarti cose che nulla hanno a che vedere con la Statistica ma solo con conoscenze matematiche di base che qualunque studente che si avvicina a questi argomenti dovrebbe avere nel proprio bagaglio culturale¹.... va beh....

Partendo dal fatto che

${{: ( U=X ),(V=X+Y ) :}rarr{{: ( X=U ),(Y=V-U ) :}$

si ha subito che

${{: ( 0<V-U<1 ),( 0<U<1 ),( 0<V<2 ) :}$

1) ora se $0<V<1$, affinché la prima doppia disuguaglianza abbia senso, è evidente che deve essere anche $0<U<V$ e quindi qui integro così $int_0^v du=v$

2) mentre se siamo nell'intervallo $1<V<2$, per lo stesso motivo del punto 1), allora è altrettanto evidente che deve essere $U>V-1$ e quindi, scritto diversamente, deve essere $V-1<U<1$ che significa $int_(v-1)^1 du=2-v$

metti insieme le due rette e ti esce un triangolo come ho scritto prima (scritto in forma più compatta)

la densità di V viene una distribuzione triangolare


$f_V(v)=[1-|1-v|]mathbb{1}_((0;2))(v)$

E' altrettanto evidente che il problema si può risolvere senza tutta questa inutile procedura ma semplicemente disegnando IL quadrato unitario, facendoci passare in mezzo la retta $X+Y=v$ e trovando la distribuzione di V in maniera geometrica molto ma molto elementarmente.

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Note

1. anche perché non faccio l'insegnante e di solito dò per scontato certe conoscenze...e non sono abituato a spiegarle ↑

[mobley]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Allora se dovesse andarti male a lavoro un concorsino per l'ammissione a qualche università, fossi in te, lo farei

Tutto chiaro ora, grazie