Somma di Leggi Gamma indipendenti

[tommik]

Partendo dalla densità congiunta $f(x,y)=cx^(k-1)y^(l-1)e^(-\theta(x+y))\mathbb(1)_{(\mathbb(R)^+ xx\mathbb(R)^+)}(x,y)$, ho trovato come da esercizio la costante $c=((\theta)^(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))$, le due leggi marginali che sono due Gamma di parametri $(k,\theta)$ e $(l,\theta)$ e devo trovare la legge di $X+Y$. Credo di aver definito correttamente gli estremi di integrazione per l'integrale doppio ma ora non riesco a ricondurre il prodotto sotto integrale a nessuna formula nota o densità notevole. Ottengo:

$\mathbb(E)[g(X+Y)]=(1)/(2^(k+l-1))(\theta^(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))\int_(0)^(+\infty)g(u)e^(-\theta u)\int_(-u)^(u)(u+v)^(k-1)(u-v)^(l-1)dv$

Come trasformo quella quantità? Avrei pensato di integrare $l-1$ volte ma non credo di fare in tempo per questa vita…

[tommik]

devo trovare la legge di $X+Y$

Quando si dice "la teoria serve" prima di fare esercizi....

Prima soluzione: la somma delle due Gamma è ancora una gamma: $"Gamma"(k+l;theta)$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' evidente che le due variabili $X,Y$ sono fra loro indipendenti essendo $f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Quindi la fgm della variabile $X+Y$ è la seguente: $(1-t/theta)^(-k)(1-t/theta)^(-l)=(1-t/theta)^(-(k+l))$ che corrisponde alla fgm di una distribuzione $"Gamma"(k+l;theta)$

Ma scrivere un titolo che descriva l'oggetto del topic è così complicato

Credo di aver definito correttamente gli estremi di integrazione per l'integrale doppio ma ora non riesco a ricondurre il prodotto sotto integrale a nessuna formula nota o densità notevole. Ottengo:

$\mathbb(E)[g(X+Y)]=(1)/(2^(k+l-1))(\theta^(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))\int_(0)^(+\infty)g(u)e^(-\theta u)\int_(-u)^(u)(u+v)^(k-1)(u-v)^(l-1)dv$

Io invece credo di no.....e sinceramente non ho nemmeno capito che cosa vuoi fare...

Seconda soluzione: Dunque, premesso che come ho già sottolineato nella prima soluzione, non serve alcun integrale per risolvere....la curiosità è sempre alla porta e quindi ecco come risolvere l'esercizio utilizzando le tecniche di analisi di base:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $Z=X+Y$. Data l'indipendenza delle variabili posso calcolare la densità di Z con la convoluzione

$f_Z(z)=int_0^z theta^(k+l)/(Gamma(k)Gamma(l)) x^(k-1)e^(-thetax)(z-x)^(l-1)e^(-theta(z-x))dx=$

$=theta^(k+l)/(Gamma(k)Gamma(l)) e^(-theta z)int_0^z x^(k-1)(z-x)^(l-1)dx=$

$=theta^(k+l)/(Gamma(k)Gamma(l))z^(k+l-1)e^(-theta z)int_0^1 (x/z)^(k-1)(1-x/z)^(l-1)d(x/z)=$

$=theta^(k+l)/(Gamma(k+l))z^(k+l-1)e^(-theta z)int_0^1 ((x/z)^(k-1)(1-x/z)^(l-1))/(B(k,l))d(x/z)=$

$=theta^(k+l)/(Gamma(k+l))z^(k+l-1)e^(-theta z)$;$z>0$

dato che ora l'integrale fa uno....(è una densità beta integrata su tutto il suo supporto)

In definitiva otteniamo

$Z~"Gamma"[k+l;theta]$ come dev'essere e come dimostrato per altra via...

[mobley]

Buongiorno tommik, anzitutto grazie per la risposta, chiara come sempre.

Quando si dice "la teoria serve" prima di fare esercizi

Qui il fatto non è la teoria, che sto studiando da diverse fonti, ma la difficoltà nel saper riconoscere quando e se conviene applicare una formula piuttosto che un'altra, come riuscire a riconoscere che operando alcune modifiche o fattorizzazioni alla formula ci si può ricondurre ad una densità nota… Dal punto di vista teorico mi ritengo (almeno per quanto riguarda questa parte di programma) abbastanza preparato. Infatti sapevo che

la somma delle due Gamma è ancora una gamma

ma volevo arrivarci con le tecniche di analisi di base. Anche solo per una questione di "allenamento".
Il punto è che non avevo proprio pensato alla convoluzione (che, ripeto, conosco dal punto di vista teorico). Come non avrei mai pensato a imporre $x=zt$. E' qui la vera difficoltà. Una volta capito che tipo di sostituzione conviene usare (1. in questi casi? 2. per ottenere una Beta?) è fatta.
Se $x=zt$ con $dx=zdt$ e dove ${ ( t=0 ),( t=1 ):}{: ( rArry=z(1-t)=z ),( rArry=z(1-t)=0 ) :}$, si ha:

$(\theta^(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))z^(k+l-1)e^(-\thetaz)\int_(0)^(1)t^(k-1)(1-t)^(l-1)dt=\theta^(k+l)z^(k+l-1)e^(-\thetaz)(B(k,l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))=(\theta^(k+l))/(\Gamma(k+l))z^(k+l-1)e^(-\thetaz)$

$rArr Z ~ Gamma(k+l;\theta)$

[tommik]

Il punto è che non avevo proprio pensato alla convoluzione (che, ripeto, conosco dal punto di vista teorico).

Questo sì che è davvero strano, probabilmente abbiamo un concetto diverso di "conoscere la teoria".

Ti faccio subito un esempio: se prendi due v.a. indipendenti $X,Y$ e sei interessato a calcolare la distribuzione di $Z=X+Y$ ottieni, per definizione,

$F_Z(z)=int_(-oo)^(+oo)f_X(x)[int_(-oo)^(z-x)f_Y(y)dy]dx= int_(-oo)^(+oo)f_X(x)F_Y(z-x)dx$

Derivi (rispetto a $z$) ed ottieni subito

$f_Z(z)=int_(-oo)^(+oo)f_X(x)f_Y(z-x)dx$

Ovvero $f_Z(z)$ è proprio il prodotto di convoluzione fra le due densità di partenza. Questa io la chiamo "Teoria" . Conoscendola bene, per risolvere il problema sarebbe stato sufficiente sostituire i dati della traccia.

Come non avrei mai pensato a imporre $x=zt$. E' qui la vera difficoltà.

Beh se la tua variabile $x in (0;z)$ mentre a te servirebbe $in (0;1)$ non mi pare serva un lampo di genio per lavorare su $x/z$. Capito questo il resto sono passaggi obbligati che ti conducono mano nella mano verso la soluzione.