Mostrare che un processo è una martingala

[feddy]

Ciao a tutti, ho difficoltà nel seguente esercizio.

Siano $X_j$, $j \geq 1$ v.a. integrabili e $\mathcal{F_n} = \sigma(X_j, 1 \leq j \leq n), n \geq 0$ la loro filtrazione naturale.

Data la v.a. $Z_0=0$, $Z_n=\sum_{j=0}^{n-1} (X_{j+1}- E[x_{j+1}|\mathcal{F}_j])$,

si mostri che $(Z_n)_{n \geq 0}$ è una $(\mathcal{F_n})_{n \geq 0}$-martingala

Chiaramente vanno verificate le tre proprietà (M1,M2,M3), che sono: assoluta integrabilità di $Z_n$, $Z_n$ è $\mathcal{F_n}$-adattata per ogni $n$, e $E[Z_{n+1}|\mathcal{F_n}]=Z_n$.

(M1): $E[|Z_n|] \leq \sum_j E[|X_{j+1}|] + E[ \sum_j |E[X_{j+1}|\mathcal{F_j}]| ]$, dove ho usato la disuguaglianza triangolare. Ora, il primo termine è chiaramente finito per ipotesi. Come posso giustificare adeguatamente che anche l'altro è finito?


(M2) Innanzitutto, per ogni $j$, $X_j: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (S, \mathcal{S})$

Qui non saprei proprio come fare a mostrare che $Z_n$ è $\mathcal{F_n}$ misurabile. Dovrei mostrare che per ogni $B \in \mathcal{S}$, la somma dei $\{ X_{j+1} - E[X_{j+1}| \mathcal{F_j}] \in B \} \in \mathcal{A}$. Vorrei scrivere tale insieme in modo opportuno per usare il fatto che $\{ X_{j+1} \in B} \in \mathcal{A}$ poichè $X_{j+1}$ è v.a, ma non saprei comunque come comportarmi con quel valore atteso.


(M3) $E[Z_{n+1}|\mathcal{F_n}]= E[Z_n|\mathcal{F_n}] + E[ X_{n+1}- E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}]| \mathcal{F_n}]= Z_n + E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}] - E[E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}]|\mathcal{F_n}]=Z_n$

dove nell'ultimo passaggio i due valori attesi si sono elisi.

[mobley]

Ciao feddy,
non ti rispondo nel dettaglio del tuo post perchè non studiando matematica bensì matematica ma applicata alla finanza mi concentro più sugli aspetti "pratici" che sulla teoria. Tuttavia posso dirti con certezza quelle che sono le tecniche tradizionalmente usate in ambito applicativo per individuare un processo dotato di martingalità:
1) Applicando la definizione di martingala. Se ${M_t}_{(t>=0)}$ è un processo integrabile ed $F_t$ adattato sullo spazio filtrato $(\Omega, F,{F_t}_{(t>=0)},\mathbb(P))$, allora tale processo gode di martingalità se $\mathbb(E)[M_t|F_s]=M_s$.
2) Osservando la nullità in media degli incrementi del processo (come giustamente hai fatto notare tu). Ergo:
$\mathbb(E)[M_(t+\Deltat)-M_t|F_s]=M_s-M_s=0$ per la linearità del valore atteso. Tuttavia, molto più comodamente (ed è ciò che in finanza si fa), si verifica la nullità del momento primo.
3) Dimostrando la sub-martingalità del processo e applicando il teorema di decomposizione di Doob secondo cui, per una data sub-martingala ${M_t}_{t>=0}$ definita rispetto alla filtrazione ${F_t}_{(t>=0)}$, tale sub-martingala è sempre scomponibile in termini della somma di un processo martingala e di un processo predicibile e crescente, di cui tuttavia devi dimostrare l'unicità. Tale vincolo rende di fatto questa tecnica (quantomeno in ambito finanziario) raramente applicabile.
4) Osservando la forma del processo (che dovrai esprimere in forma integrale). Per le ipotesi del I° teorema dell'APT, infatti, un processo martingala sotto misura fisica è sempre definito dalla condizione $M_t=M_0+\int_(0)^(t)\sum_(k=1)^(d)H_s^(k)dW_s^(k), \forall t\in [0,T]$, con $H$ generico processo predicibile e integrabile e ${W_t}_{(t>=0)}$ generico moto browniano sullo spazio filtrato.
5) Come hai fatto tu, sfruttando l'integrabilità e la misurabilità del processo rispetto alla generica filtrazione, e definendo il processo $M_t:=\mathbb(E)[X|F_t]$. Infatti, data la condizione di martingalità:

$\mathbb(E)[M_t|F_s]=\mathbb(E)[\mathbb(E)[X|F_t]|F_s]=\mathbb(E)[X|F_s]=M_s$

per la proprietà dell'attesa condizionata.
5) Confrontando graficamente l'andamento del tuo processo con quello del LIBOR, che per la teoria finanziaria gode sempre di martingalità rispetto ad una misura di martingala equivalente $\mathbb(Q)$. Se gli andamenti sono coerenti puoi dunque ipotizzarne la martingalità. Nota bene che sta a te verificare la misura equivalente (che noi definiamo misura rischio-neutrale) ammetta martingala equivalente applicando Girsanov e modificando opportunamente il moto browniano sotto misura fisica.

Spero che possano esserti utili come spunto per arrivare a dimostrare quello che ti serve