Ho due variabili: $U~ U(-1,1)$ e $V=2|U|-1$. Chiede nell'ordine di:
1) calcolare la distribuzione di $V$
2) calcolare la media di $V$
3) dimostrare l'eventuale correlazione di $U$ e $V$
4) dimostrare l'eventuale indipendenza di $U$ e $V$ (oltre a una probabilità), ma ancora devo mettermici.
Il punto 1) prevede che $V~ U(-1,1)$ dove $(0<=|U|<=1)rArr(-1<=V<=1)$.
Il punto 2) è banalmente $0$.
I dubbi riguardano per ora il punto 3), ma temo che tornerò ad aggiornare presto il post perchè ho la sensazione che troverò qualche difficoltà anche per il punto 4).
Premesso che indipendenza implica incorrelazione ma non il contrario, dimostro l'incorrelazione tramite nullità della covarianza:
$cov(U,V):=\mathbb(E)[UV]-\mathbb(E)[U]\mathbb(E)[V]=\mathbb(E)[UV]=\mathbb(E)[U(2|U|-1)]=\mathbb(E)[2U|U|-U]=\mathbb(E)[2U|U|]$
[1° dubbio (anche se di analisi)] Vale sempre la relazione $x|x|=(x\cdot(-x)+x\cdotx)$?
Provando in questo modo, e sapendo che $(0<=|u|<=1)=(0<=-u,u<=1)=(0<=-u<=1)uu (0<=u<=1)=(-1<=u<=0)uu (0<=u<=1)$
$=2[\mathbb(E)[U(-U)+U(U)]]=2[\mathbb(E)[-U^2]+\mathbb(E)[U^2]]=2[\int_(-1)^(0)-u^2 1/2du+\int_(0)^(1)u^2 1/2du]$
[2° dubbio]Perchè svolgendo il primo integrale con la funzione integranda negativa si verifica effettivamente l'incorrelazione mentre se si applica la proprietà degli estremi di integrazione per poi sommare tra loro i due integrali questo non avviene?