Varianza media campionaria

Messaggioda Speranza » 10/10/2019, 14:11

Ciao a tutti e grazie in anticipo del vostro tempo.
Scrivo per un dubbio riguardo la varianza della media campionaria.Ho capito il fatto che la media campionaria è uno stimatore non distorto perché se facciamo la media di tutte le medie campionarie (di tutti i possibili campioni) è uguale alla media della popolazione. Ho anche visto con esempi numerici che la varianza campionaria (calcolata facendo gli scarti tra le varie medie campionarie e la media della popolazione) è uguale a (sigma^2)/n. Il problema è che nonostante ho capito i passaggi algebrici per arrivare a (sigma^2)/n [da Var(Xbarrato)], non riesco a capire perché è uguale alla varianza della popolazione diviso l'ampiezza campionaria. Non capisco il perché di quei passaggi.
Spero riusciate a capirmi, grazie.
Speranza
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 30
Iscritto il: 10/10/2019, 13:46

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda tommik » 10/10/2019, 14:18

Certo che abbiamo capito....però se scrivessi le formule come prescritto sarebbe meglio....

Devi calcolare questo

$V[(X_1+...+X_n)/n]$

intanto sai che per note proprietà $V(aX)=a^2V(X)$ e $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ (il campione è casuale)...e se non lo sai studiatelo....

Poi sai che ogni $X_i$ è a sua volta una variabile con la stessa distribuzione di X (della popolazione)....quindi tutte le $X_i$ hanno la stessa varianza $sigma^2$

....in fin dei conti avrai che $V[bar(X)]=1/n^2xxnsigma^2=sigma^2/n$


Il "perché" sta nel fatto che andando a guardare quanto varia la media dei valori "la variazione" si abbassa di molto....più elementi prendi e più la media empirica si avvicinerà alla media vera...diminuendo sempre di più le variazioni in più ed in meno rispetto al valore vero.

PS: la prossima volta un messaggio scritto bene altrimenti evita di postare perché aiuti non ne riceverai.
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5065 di 11278
Iscritto il: 23/04/2015, 13:13
Località: Cassano Magnago

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda Speranza » 10/10/2019, 14:55

Grazie della risposta
Scusa della domanda stupida ma $X_i$ sono tutti i possibili campioni non i valori di un campione in particolare giusto? Quindi $(X_1 + ... X_n)/(n)$ sono i possibili campioni diviso l'ampiezza campionaria, ogni termine sarebbe la media campionaria di un determinato campione?
Scusa dell'eventuale confusione, grazie.
Ultima modifica di tommik il 10/10/2019, 15:00, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: eliminata citazione ingombrante
Speranza
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 30
Iscritto il: 10/10/2019, 13:46

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda tommik » 10/10/2019, 15:07

Allora, facciamo un attimo di chiarezza...

Abbiamo una popolazione che chiamiamo $X$ che ha una certa distribuzione.....vedrai poi che a volte tale distribuzione è nota altre volte no. Questa popolazione, es una distribuzione Gaussiana, ha dei parametri che la definiscono completamente: media (indicata con $mu$) e varianza, indicata con $sigma^2$

Supponiamo, ad esempio, che la nostra popolazione sia la misura di un determinato oggetto prodotto. La misura vera non la conosce nessuno, ma sappiamo che ha una distribuzione Normale, con media ignota ($mu$) e varianza nota $sigma^2$ nota

Siccome non conosciamo la media cosa facciamo? Estraiamo dalla popolazione un campione casuale di una certa ampiezza, diciamo $n$

Il campione sarà una n-upla $(X_1,X_2,....,X_n)$

La caratteristica di questo campione è di essere una n-upla di variabili casuali tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione della popolazione (è una ipotesi che devi prendere per buona).

Ora si dimostra che un ottimo stimatore della media non nota $mu$ è la media empirica $bar(X)$ che a sua volta è una variabile casuale di media uguale alla media della popolazione ($mu$) e varianza, come ti ho dimostrato, pari a $sigma^2/n$.
ecc ecc

sono cose un po' strane all'inizio ed è complicato riassumere il tutto in poche righe.....studia per bene e vedrai che pian piano ti saranno chiare...poi siamo qui, per eventuali dubbi ma prima....STUDIO STUDIO STUDIO
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5066 di 11278
Iscritto il: 23/04/2015, 13:13
Località: Cassano Magnago

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda Speranza » 10/10/2019, 16:20

Sisì questo lo so, so che sembra stupido ma mi chiedo se nella formula $Var(\bar X)= (X_i+...+X_n)/(n)=(\sigma^2)/(n)$ quelle $X_i$ sono i diversi campioni (ogni indice rappresenta un diverso campione) oppure ogni indice rappresenta un determinato numero all'interno del campione osservato.
Grazie ancora e scusa del disturbo dovuto alla mia zucca dura
Speranza
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 30
Iscritto il: 10/10/2019, 13:46

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda tommik » 10/10/2019, 17:42

Mi arrendo... :smt039
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5067 di 11278
Iscritto il: 23/04/2015, 13:13
Località: Cassano Magnago

Re: Varianza media campionaria

Messaggioda Speranza » 10/10/2019, 18:05

Ahahahah chiedevo solamente se $X_1+...+X_n$ sono le osservazioni di un solo campione oppure $X_1$ un campione,$X_2$ un altro campione e ancora fino a $X_n$. Probabilmente sono tarato ahah
Speranza
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 30
Iscritto il: 10/10/2019, 13:46


Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 1 ospite