Considerato
$y_i = \alpha + x_i'\beta + \epsilon_i$ con $i = 1, ...,n$ e dove $y_i,\alpha,\epsilon_i$ sono scalari e $x_i=[[x_{i1}],[x_{i2}]]$ ed $\beta =[[\beta_{1}],[\beta_{2}]] $.
Ricordando una delle assunzioni del modello, $E[\epsilon | x_1,...,x_n] = 0$
$a)$ Mostrare che $E[\epsilon]=0$ e $E[x'\epsilon]=0$
Qui penso vada usata la legge delle aspettative iterate, ma per come me la sono segnata io mi porta a dire $E[(X'X)^-1X\epsilon]=0$ in quanto successivamente si tira fuori un $E[\epsilon|X]$ che sappiamo essere $0$ per una delle assunzioni del modello...non riesco a vedere come arrivare a dimostrare quei due enunciati però.
$b)$ Supponiamo di avere una variabile aleatoria $j$ con osservazioni ${j_i}$ con $i=1,..,n$. La media può essere espressa come $\bar{j} = 1/n \sum_{i=1}^n j_i$, come approssimazione considera $\bar{j} = E[j]$ quando $n>N$.
Utilizza i risultati del punto $a)$ per mostrare che:
$X'\epsilon = [[0],[0],[0]]$ per $n>N$
Qualcuno ha qualche suggerimento/consiglio? Grazie mille!
