Salve a tutti.
Innanzitutto mi scuso se ho sbagliato a scrivere nella sezione corretta, ero indeciso tra questa e la sezione di probabilità e statistica.
A ogni modo, devo sostenere l'esame di teoria dei segnali, e ci sono alcuni tipi di esercizi che non riesco a capire come si fanno, in particolare quelli in cui si trattano le variabili aleatorie.
In particolare, il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia data la variabile aleatoria X la cui densità di probabilità è pari a $ f_X(x) = kx $ se $ x in [1,2] $ , mentre vale 0 altrove. Inoltre sia Y definita come $ Y = X^2 $ . Determinare:
1) Media e varianza di X
2) Media e varianza di Y
3) La densità di probabilità di Y
4) Il valore della distribuzione cumulativa di probabilità di Y in 2
5) La probabilità che Y sia maggiore del doppio di X
Io sono riuscito, o almeno credo, a risolvere i primi due punti. In particolare per il punto 1 ho calcolato prima l'integrale tra 1 e 2 di $ xf_X(x) $ per la media, e l'integrale tra 1 e 2 di $ x^2f_X(x) $ a cui ho sottratto il valor medio al quadrato trovato in precedenza. Per il punto 2 ho fatto gli stessi calcoli, però sostituendo x^2 al posto di x in quanto $ Y = X^2 $
Adesso, per il punto 3 ho difficoltà. Credo di dover applicare il teorema fondamentale della trasformazione di variabile aleatoria che mi dice che: $ f_Y(y) = sum_(i) f_X(x_i)/(|g'(x_i)|) $
Tuttavia non ho idea di come io debba applicare questa formula. Avevo pensato che $ f_X(x_i) $ fosse uguale a $ kx $ e che $ |g'(x_i)|) $ fosse uguale alle derivata di $ Y = X^2$ ovvero $ 2X $ ma non mi convince come soluzione.