feddy ha scritto:L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$
No. Questo significa che la successione è bounded in L1. Questo è più debole della uniforme integrabilità.
Tuttavia, come avete già visto, la martingala è bounded in L2. Questo si che implica che la successione è UI e dunque avete fatto.
Vi segnalo infine che il teorema che avete citato, ha un'altra equivalenza:
esiste X integrabile tale che $X_n=E[X|F_n]$.
Questa variabile X non è detto sia unica. $X=lim_n X_n$ verifica questa proprietà.
Da questo si capisce che il limite non può essere 0, come avevate detto in precedenza.