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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

15/10/2019, 22:38

feddy ha scritto:L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$

No. Questo significa che la successione è bounded in L1. Questo è più debole della uniforme integrabilità.

Tuttavia, come avete già visto, la martingala è bounded in L2. Questo si che implica che la successione è UI e dunque avete fatto.

Vi segnalo infine che il teorema che avete citato, ha un'altra equivalenza:

esiste X integrabile tale che $X_n=E[X|F_n]$.

Questa variabile X non è detto sia unica. $X=lim_n X_n$ verifica questa proprietà.
Da questo si capisce che il limite non può essere 0, come avevate detto in precedenza.

Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

15/10/2019, 22:47

Grazie DajeForte, purtroppo stavo provando a svolgere l'esercizio senza avere i prerequisiti necesari ! :) Nel frattempo ho risolto usando la limitatezza in $L^2$, come hai fatto giustamente notare!

Per completezza:
Considerando la martingala $(M_n)_n$ con $M_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k}$ e filtrazione naturale data da $F_n= \sigma (X_1, \ldots, X_n)$ si ha

$E[M_n^2]=\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} E[X_j X_k]=\sum_{k=1}^{n} E[X_k^2] \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ dove ho usato il fatto che le $X_i$ sono i.i.d

da cui la limitatezza in $L^2$. Dunque la successione è uniformemente integrabile e dunque esiste $M \in F_{\infty}$ tale che $M_n \rarr M$ a.s. !
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