Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 15/10/2019, 22:25

Buonasera a tutti e grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Sto svolgendo una prova d'esame di TLC nella quale è presente il seguente problema di probabilità:
Date due v.a gaussiane aventi:

$mu_1=3$ e $sigma_1 ^2 =5$

$mu_2=5$ e $sigma_2 ^2 =4$

$rho=0,4$

calcolare (tra le varie cose) media e varianza della v.a $Z=X1 - 2X2$

Per quanto riguarda la media ho ottenuto $-7$ (se mi confermate o correggete ve ne sono grato) mentre per quanto riguarda la varianza sto avendo qualche difficoltà... So per definizione che la varianza è data da:
$Var[Z]=E[(Z-E[Z])^2]$ dove nel mio caso ovviamente $Z$ vale la quantità scritta in precedenza... come svolgo l'operazione??? Qualcosa mi sfugge perchè su degli esercizi svolti che mi hanno dato, a prima vista non viene fatto semplicemente lo sviluppo del quadrato e sugli appunti non ho trovato ciò che mi serve :(
Grazie a chiunque mi darà una mano. :smt023
Marco Beta2
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda tommik » 16/10/2019, 05:39

La media è giusta.

Per la varianza dovresti sapere che, applicando una nota proprietà,

$V[X-2Y]=V[X]-4Cov[X,Y]+4V[Y]$

Se non dovessi ricordartela, basta sviluppare i conti dalla definizione di varianza che hai scritto per verificarne la correttezza.
Anzi, ti consiglio vivamente di NON usare la proprietà che ti ho indicato ma di sviluppare i conti della varianza che hai (correttamente) scritto ed arrivare tu stesso alla formula....è un esercizio semplice ma molto molto utile.

Poi, per il calcolo della covarianza, usa $rho$
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 16/10/2019, 09:52

tommik ha scritto: ...


Grazie mille tommik :smt023 ti chiedo solo una cosa così me la scrivo negli appunti, potresti svilupparmi la definizione per arrivare alla proprietà che mi hai scritto? Ovviamente se la cosa non è lunga e se per te non è un problema...
La covarianza l'ho ricavata ieri sera utilizzando $rho$ ma non ricordo il risultato per poterla controllare, sono a lavoro e non ho portato gli appunti dietro :(
grazie ancora :smt023
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda tommik » 16/10/2019, 10:04

No, non è un problema....anche se sarebbe meglio che la facessi tu, per imparare.

Indico $Z=X-2Y$ per semplificare la notazione

$mathbb{V}[X-2Y]=mathbb{E}[(X-2Y)-mathbb{E}(X-2Y)]^2=mathbb{E}[X-2Y-mathbb{E}(X)+2mathbb{E}(Y)]^2=$

$=mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)]-2[Y-mathbb{E}[Y]}^2=mathbb{E}[X-mathbb{E}(X)]^2-4mathbb{E}{[X-mathbb{E}(X)][Y-mathbb{E}(Y)]}+4mathbb{E}[Y-mathbb{E}(Y)]^2=$

$=mathbb{V}[X]-4Cov[X,Y]+4mathbb{V}[Y]$

c.v.d.

Prova almeno a rifarla in generale, calcolando la varianza di $Z=aX+bY$
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 16/10/2019, 20:39

tommik ha scritto:...

tommik grazie infinite :smt023 sei stato chiarissimo e super diponibile :smt023 :smt023 :smt023

Ti scrivo lo svolgimento fatto in modo tale da chiudere l'arogmento... Dati i parametri delle due v.a. anticipate nella traccia ho ricavato la covarianza da $rho$ come segue:

$ rho=(Cov[XY])/(sigma_x * sigma_y) $ da qui ricavo: $Cov[X,Y]=rho * sigma_x * sigma_y = 0.4 *2.23*2 = 1.78 $

da qui ritornando alla proprietà da te gentilmente sviluppata ottengo:

$Var[Z]= Var[X] - 4Cov[XY] + 4Var[Y] = 5 - 4(1.78) + 4(4) = 13.88 $

Spero di non aver fatto errori grossolani... Grazie ancora :smt023
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 16/10/2019, 21:22

Ho anche svolto l'esercizio che mi avevi proposto riaguardo lo sviluppo di una somma generica, ovvero qualcosa del tipo: $Var[aX+bY]$
Lo sviluppo che ho fatto è il seguente:

$V[ax+by] = E[(ax+by) - E(ax+by)]^2 = E[ax+by-E[ax]-E(by)]^2 $

$= E{[ax-E(ax)] + by-E[by]}^2 = E{a[x-E(x)] + b[y-E(y)]}^2 $

$= a^2E[x-E(x)]^2 + 2(ab)E{[x-E(x)] * [y-E(y)]} +b^2E[y-E(y)]^2$

$= a^2V(x) + 2(ab)Cov(xy) +b^2V(y)$

Spero di aver sbagliato il meno possibile :wink:
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda tommik » 17/10/2019, 08:44

Marco Beta2 ha scritto:
Spero di non aver fatto errori grossolani...


$sqrt(5)~~ 2.236~~ 2.24$...e questo ti cambia un po' il risultato finale. Quando scrivi $mathbb{E}[X], mathbb{V}[X]$ ecc ecc devi usare la lettera maiuscola perché $X$ è una variabile mentre $x$ sono i valori che tale variabile assume...


Per il resto tutto a posto. Con lo stesso metodo1, ovvero il calcolo di $mathbb{V}[X+thetaY]$, puoi dimostrare un altro teorema utilissimo....ovvero che $|Cov(X,Y)|<=sigma_X sigma_Y$

:smt039

Note

  1. ed un piccolissimo ragionamento
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 17/10/2019, 21:20

tommik ha scritto:...

Grazie infinite tommik :smt023 sei stato veramente chiaro e disponibilissimo :smt023 grazie veramente di cuore :smt023
Marco Beta2
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda Marco Beta2 » 17/10/2019, 23:00

Volevo chiedere una cosa leggermente off topic perchè non riguarda la domanda in questione ma un altro punto dell'esercizio... lo posto, nel dubbio mi avvisate e rimuovo :wink:

L'esercizio mi chiede di calcolare $P(Z<= -7)$ e prima di chiedere ho pensato bene di informarmi prima in internet dato che a lezione esercizi in merito non ne abbiamo fatti... Ho trovato in giro le tavole di distribuzione normale standardizzata che potrebbero fare al caso mio... il problema è che non ne ho trovate che arrivino fino al valore $-7$ ...
Avevo pensato anche di provare questo approccio $ Z=(X-mu)/sigma$ con $mu = -7$ e $ sigma = sqrt(Var[Z]) = sqrt(13,84) = 3,72$ ottenendo:

$ P(Z<=-7) = P(((Z-mu)/sigma) <= ((-7 -(-7))/(3,72))) = ... $

ma non so se l'approccio sia corretto.
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Re: Calcolo media e varianza di una variabile aleatoria gaussiana

Messaggioda tommik » 18/10/2019, 04:11

:smt023

Le tavole che hai visto si riferiscono ad una normale standard, ovvero ad una $N(0;1)$ cioè una normale di media zero e varianza 1 la cui funzione di ripartizione (cioè il valore che leggi nel corpo della tavola) si indica con $Phi(.)$

Per note proprietà, se $X$ e $Y$ sono gaussiane allora anche $Z=aX+bY$ lo è. Quindi la tua $Z=X-2Y~N(-7;13,84)$

E quindi $mathbb{P}[Z<= -7]=Phi(0/(3,72))=Phi(0)=0,5$

In questo caso le tavole non servono nemmeno perché si tratta esattamente di mezza distribuzione...comunque usa pure le tavole per prendere confidenza


NOTA BENE
Le tavole vanno in genere da $[-3;3]$ perché $Phi(-3) rarr 0$ mentre $Phi(3)rarr1$. Se dovessi calcolare $mathbb(P)[Z<-21]$ con $Z~N(0;1)$ verrebbe zero.

La maggior parte delle tavole tabulano solo la parte positiva della variabile perché la parte negativa si ricava per simmetria (la gaussiana è funzione pari).
Quindi ad esempio, $Phi(-1,96)=1-Phi(1,96)=1-0.975=0.025$
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