Appuntamento al cinema

[mobley]

Un uomo e una donna si danno appuntamento davanti a un cinema alle 12:30. Se l'uomo arriva in un istante uniformemente distribuito sull'intervallo tra le 12:15 e le 12:45 e la donna, in maniera indipendente dall'uomo, arriva in un istante uniformemente distribuito sull'intervallo tra le 12:00 e le 13:00, si determini:

$a)$ la probabilità che il primo che arriva attenda l'altro non più di 5 minuti;
$b)$ la probabilità che l'uomo arrivi per primo.

So che:
- $H$ tempo di attesa $<=5$ minuti;
- $X$ tempo di arrivo dell'uomo $~ U(12,15;12,45)rArr f_X(x)=1/(0,3)\mathbb(1)_{(12,15;12,45)}(x)$;
- $Y$ tempo di arrivo della donna $~ U(12;13)rArr f_Y(y)=\mathbb(1)_{(12;13)}(y)$.
- $X_|_ Y$.
Ho ragionato così.
$a)$ La somma delle Uniformi genera una triangolare simmetrica di media 12:30 e $c=2$. Tra le 12 e le 13 c'è un'ora, con i 30 minuti di media che equivalgono a $1/2$ di ora. Il tempo massimo che entrambi devono aspettare è al massimo 5 minuti (cioè $1/12$ di ora), quindi l'intervallo temporale massimo concesso è di 10 minuti (da 5 minuti prima delle 12:30 a 5 minuti dopo le 12:30). Allora:

$\mathbb(P)(H<=5)=1/12+1/12=1/6$

$b)$ L'intervallo di tempo entro cui arriva l'uomo è di 30 minuti ($1/2$ di ora) e l'intervallo di tempo entro cui arriva la donna è di 1 ora (cioè il doppio dell'uomo), quindi la probabilità che l'uomo sia il primo ad arrivare è la metà della donna. Allora:

$\mathbb(P)=1/2$

Non saprei formalizzarlo in maniera migliore però

[tommik]

$a)$ La somma delle Uniformi genera una triangolare simmetrica di media 12:30

anche qui il ragionamento effettuato falla parecchio....(ma non ho voglia di entrare in questi ragionamenti sconclusionati).

Inizio col sottolineare che la somma delle due uniformi non è affatto una distribuzione triangolare....

Non serve a nulla per risolvere l'esecizio ma solo per tua conoscenza (e come utile esercizio), la distribuzione della somma delle due uniformi, espressa in minuti a partire da $12:00=0$ e che puoi controllare facendo la convoluzione delle due uniformi, è la seguente

$f_(X+Y)(z)={{: ( (z-15)/1800 , ;15<=z<45 ),( 1/60 , ;45<=z<75 ),( (105-z)/1800, ;75<=z<=105 ),( 0 , ; " altrove" ) :}$

Come si può vedere, pur essendo simmetrica, non è una distribuzione triangolare.


Oltretutto la somma delle uniformi non è la distribuzione da cercare. La distribuzione corretta è $Z=|X-Y|$ ma non è necessario calcolarla perché il testo chiede solo la probabilità che $|X-Y|<=5$ e non tutta la distribuzione.

Ecco comunque la soluzione, ottenuta semplicemente con un autoesplicativo metodo grafico:

(click per ingrandire)


Risposta: Area Viola diviso area rettangolo rosso:

a) Grafico di sinistra: $(10xx30)/(30xx60)$.

b) Grafico di destra: si dimostra banalmente che è la metà senza alcun conto.

[mobley]

Eh… se capissi come fare i grafici…