Ambulanza e incidente

Messaggioda mobley » 17/10/2019, 14:48

Un'ambulanza va su e giù per un tratto di strada di lunghezza $L$ a velocità costante. In un certo momento avviene un incidente in un punto a caso sulla strada [Cioè, la distanza di questo punto dall'inizio del tratto di strada si distribuisce con legge uniforme sull'intervallo $(0,L)$]. Supponendo che la posizione dell'ambulanza in quell'istante, in maniera indipendente dall'incidente, sia anch'essa distribuita con legge uniforme su $(0,L)$, si calcoli la distribuzione della sua distanza dal luogo dell'incidente.


So che:
- $L$ lunghezza tratto di strada su cui viaggia l'ambulanza;
- $X$ lunghezza del tratto di strada dall'inizio della strada al punto dell'incidente $~ U(0,L)$
- $Y$ posizione dell'ambulanza al momento dell'incidente $~ U(0,L)$.
- $X_|_Y$.
Allora
$X-Y=\int_(\mathbb(R))1/L\mathbb(1)_{(0,L)}(x)1/L\mathbb(1)_{(0,L)}(x-z)dx=1/L^2\int_(0)^(L+z)dx=(L+z)/L^2$
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda tommik » 17/10/2019, 15:01

ehhhhh..... [-X

Intanto la distanza non si può definire come $X-Y$ perché tale funzione non ha le proprietà di una funzione di distanza (potrebbe anche essere negativa)....Scrivere $X-Y$= a qualche cosa con un integrale ecc non ha alcun senso....$X,Y$ sono numeri aleatori...oltre al fatto che non ho la minima idea di cosa tu abbia scritto...di certo ciò che trovi non è una densità

Ma $Z=|X-Y|$ sì che ha tutte le caratteristiche di una buona funzione di distanza....e con i grafici risolvi in 3 secondi e mezzo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine

$F_Z(z)=(L^2-(L-z)^2)/L^2=1-(L-z)^2/L^2$

La funzione di ripartizione è l'area viola (variabile in funzione di $z in Z$) relativa, ovvero divisa per l'area totale $L^2$


Per la precisione (così son tutti contenti quelli che leggono) la CDF viene

$F_Z(z)=[1-(L-z)^2/L^2]mathbb{1}_((0;L))(z)+mathbb{1}_([L;+oo))(z)$

Questa sì che è una valida CDF:

$F_Z(0)=0$

$F_Z(L)=1$

$d/(dz)F_Z(z)>=0 AAz$

se vuoi la densità (non è richiesta espressamente quindi va bene sia il calcolo della densità che della CDF, a scelta) derivi F
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda mobley » 17/10/2019, 15:49

tommik ha scritto:la distanza non si può definire come $X-Y$ perché tale funzione non ha le proprietà di una funzione di distanza. Scrivere $X-Y$= a qualche cosa con un integrale ecc non ha alcun senso....$X,Y$ sono numeri aleatori

Anzitutto non ho scritto Z=$X-Y$ dandolo per scontato, ovviamente. Poi (non ricordo dove, domani ricerco la fonte e la posto, magari può essere utile a qualcun altro) ho letto che la convoluzione per la differenza di v.a. si ottiene invertendo il segno della densità di $Y$, ovvero:
$f_Z(z)=\int_(-\infty)^(+\infty)f_X(x)f_(-Y)(z-x)dx=\int_(-\infty)^(+\infty)f_X(x)f_(Y)(x-x)dx$

Inoltre non capisco il perchè del modulo. E' chiaro che se l'ambulanza si ferma prima del punto in cui si verifica l'incidente, la distanza residua è positiva.

tommik ha scritto:con i grafici risolvi in 3 secondi e mezzo

eh… se capissi come fare i grafici… :roll: (cit.)
tommik ha scritto:$F_Z(z)=[1-(L-z)^2/L^2]mathbb{1}_((0;L))(z)+mathbb{1}_([L;+oo))(z)$

Ora mi studio bene 'sta ripartizione e cerco di capire come l'hai ricavata.
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda tommik » 17/10/2019, 15:54

1) la mia osservazione non era certo perché non hai scritto $Z=X-Y$ ma perché quella "sorta di convoluzione mal fatta doveva esser preceduta da $f_(X-Y)$ e non da $X-Y$...e non è un dettaglio.

2) per fare la convoluzione occorre esser capaci di farla.... poi se ho tempo (e voglia) ti mostro come viene

3) una volta calcolata la distribuzione di $X-Y$ che ha supporto $(-L;L)$ non hai risolto un bel niente.

4) perché il modulo? beh perché è una valida funzione di distanza.....l'incidente avviene al km 2, l'ambulanza si ferma al km 1 che distanza c'è fra l'ambulanza e l'incidente? e se invece l'ambulanza si fermasse al km 3? In pratica bisogna fare $X-Y$ ma prendere sempre il numero più grande meno il numero più piccolo...insomma bisogna fare la differenza ma prenderla sempre positiva....oddio ma è proprio la definizione di modulo!

Una volta capito che la distribuzione da cercare è $Z=|X-Y|$ oppure $Z=|Y-X|$ (l'è istess)....i metodi per il calcolo della trasformazione bivariata sono diversi.....quello grafico è immediato ma puoi fare ciò che credi più opportuno (puoi usare il metodo dello jacobiano con tutti quegli integrali doppi che hai visto nei giorni scorsi)

saluti
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda mobley » 17/10/2019, 16:15

tommik ha scritto:la mia osservazione era perché non hai scritto […] $f_(X-Y)$ e non $X-Y$...e non è un dettaglio.
Hai ragione. Naturalmente il senso era quello, ma hai fatto bene a farmelo notare.
tommik ha scritto:per fare la convoluzione occorre esser capaci di farla.... poi se ho tempo (e voglia) ti mostro come viene la convoluzione […] Una volta calcolata la distribuzione di $X-Y$ che ha supporto $(-L;L)$ non hai risolto un bel niente.

Ho capito. La ripartizione calcola come si distribuisce la variabile "distanza residua" in base al punto in cui si ferma l'ambulanza, quindi $F_Z(0)$ significa che la probabilità che l'ambulanza si fermi prima dell'inizio della strada è $0$ mentre $F_Z(L)$ significa che la probabilità che l'ambulanza si fermi entro la fine della strada è certa.
tommik ha scritto:perché il modulo? beh perché è una valida funzione di distanza.....l'incidente avviene al km 2, l'ambulanza si ferma al km 1 che distanza c'è fra l'ambulanza e l'incidente? e se invece l'ambulanza si fermasse al km 3?

Scusa eh, ma se la strada che sta percorrendo è quella dove avviene l'incidente… che fa, passa affianco ai morti, li saluta e prosegue senza fermarsi? :-D
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda tommik » 17/10/2019, 16:43

mobley ha scritto:Scusa eh, ma se la strada che sta percorrendo è quella dove avviene l'incidente… che fa, passa affianco ai morti, li saluta e prosegue senza fermarsi? :-D


No, ma potrebbe succedere che l'incidente avvenga:

1) dopo che l'ambulanza è già passata e debba tornare indietro oppure

2) prima che essa arrivi sul luogo dell'incidente.

Mettiamola così: l'ambulanza va avanti ed indietro per un percorso di 10 km (dal km 0 al km10) ininterrottamente. Oppure diverse ambulanze fanno a staffetta: una va e quando arriva, l'altra torna (H24).

Ad un certo momento succede un incidente, casualmente in un punto a caso del percorso con probabilità uniforme in questo tratto $(0;10)$ km. Tu devi calcolare la distanza che in quel preciso momento vi è fra il punto casuale dell'incidente e la posizione dell'ambulanza

Es1: l'ambulanza si trova al km1 e succede l'incidente al km2. la distanza è $2-1=1$

Es:2: l'ambulanza si trova al km2 ed in quel momento (non prima) succede l'incidente al km1. La distanza è sempre $2-1=1$


E' evidentemente la differenza di km in valore assoluto....è un concetto di una banalità quasi imbarazzante da dover spiegare.

Compreso il testo (ostacolo 1) il problema è quindi quello di calcolare la distribuzione di $|X-Y|$ con X,Y uniformi indipendenti (ostacolo 2)

Tempo fa hai calcolato la distribuzione del prodotto di due uniformi indipendenti. Io nello stesso topic ti ho fatto anche la distribuzione del rapporto (e mi pare tu abbia già calcolato anche la distribuzione della somma e della differenza)...tutte con il metodo (ahimè) dello jacobiano...ora devi fare la distribuzione della differenza in modulo....per come la vedo io il metodo grafico è il migliore ed il più snello (ci avrò messo un paio di minuti, non di più)....poi fai come credi.

Purtroppo per te non si può impararsele tutte a memoria senza capire nulla perché all'esame te ne capiterà una che non hai mai fatto...è necessario capire la teoria

mobley ha scritto:Ora mi studio bene 'sta ripartizione e cerco di capire come l'hai ricavata.


Siccome ho una certa età e la memoria mi abbandona spesso....ho usato la definizione

$F_Z(z)=mathbb{P}[Z<=z]=mathbb{P}[|X-Y|<=z]$

esplicitato rispetto ad Y e fatti i conti....dato che la congiunta è costante non ho usato gli integrali ma solo le aree del dominio. Ovviamente nulla vieta di impostare correttamente l'integrale doppio e risolvere (tanto in un modo o nell'altro devi comunque fare il grafico)

Se non vuoi fare il grafico puoi usare una variabile ausiliaria e calcolare direttamente la densità col metodo dello jacobiano....ma il problema esce dalla porta e rientra dalla finestra perché trovi l'ostacolo di trovare i giusti estremi di integrazione della $f_(UV)(u,v)$
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda mobley » 23/10/2019, 16:15

Grazie per la risposta tommik, ho ripreso in mano questo esercizio dopo qualche giorno di pausa (mentale soprattutto) ma non ne vengo a capo. Ho provato a usare la definizione di modulo per calcolare la densità in questo modo:
$\mathbb(E)(Z)=\mathbb(E)(|X-Y|)=1/(L^2)\int_(0)^(L)[\int_(0)^(L)|x-y|dx]dy$

Sapendo che $|x-y|:={ ( x-y ),( -(x-y) ):}{: ( ifx>y ),( ifx<y ) :}$ ho:
$=1/(L^2)\int_(0)^(L)[\int_(x<y)-(x-y)dx+\int_(x>y)(x-y)dx]dy=1/(L^2)\int_(0)^(L)[2\int_(x>y)(x-y)dx]dy$

E siccome $x>y rArr y<x$ bisettrice del 1°-3° quadrante con il punto dell'incidente che va da $0$ a $x$, l'area sottesa alla bisettrice sarà definita in $(0,x)$. Ergo:
$=2/(L^2)\int_(0)^(L)[\int_(0)^(x)(x-y)dx]dy=(x^2-xL)/(L)$


Non capisco. Eppure mi sembra corretto il ragionamento
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Re: Ambulanza e incidente

Messaggioda mobley » 24/10/2019, 10:33

Niente, ho provato e riprovato. Anche stamattina finora. Ci rinuncio.
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