Marco Beta2 ha scritto:leggendo la soluzione da te proposta mi ha fatto ricordare qualcosa di simile visto a lezione e sono andato a rileggermi gli appunti trovando questa formula .....
E' la stessa che mi hai scritto tu? Perchè in tal caso utilizzo la tua che mi sembra molto più intuitiva
sì è la stessa formula, una è espressa in forma matriciale l'altra no. Hai solo dimenticato una parentesi dopo "exp" e scritto male il vettore riga o colonna perché ovviamente è $(ul(x)-ul(m))$
Senza usare i numeri della traccia, due variabili $X,Y$ congiuntamente gaussiane hanno la seguente densità congiunta:
$f_(XY)(x,y)=1/(2pisigma_X sigma_ysqrt(1-rho^2))EXP{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_X)^2/sigma_X^2-2rho((x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_xsigma_Y)+(y-mu_Y)^2/sigma_Y^2]}$
Può essere un utile esercizio svolgere i calcoli con le matrici e verificare che le due formule della densità coincidono.... non è difficile
parti dai dati:
$C=[ ( sigma_X^2 , rhosigma_Xsigma_Y ),( rhosigma_Xsigma_Y , sigma_Y^2) ] $
e quindi $||C||= sigma_X^2 sigma_Y^2(1-rho^2)$
$C^(-1)=([ ( sigma_Y^2 ,- rhosigma_Xsigma_Y ),(- rhosigma_Xsigma_Y , sigma_X^2) ])/(||C||) $
$(ul(x)-ul(m))=[ ( x-mu_X ),( y-mu_Y ) ] $
ora basta fare i conti....
$(ul(x)-ul(m))' C^(-1)(ul(x)-ul(m))=([x-mu_X;y-mu_Y][ ( sigma_Y^2 ,- rhosigma_Xsigma_Y ),(- rhosigma_Xsigma_Y , sigma_X^2) ][ ( x-mu_X ),( y-mu_Y ) ] )/(sigma_X^2sigma_Y^2 (1-rho^2))=$
$=(sigma_Y^2(x-mu_X)^2- rhosigma_Xsigma_Y(x-mu_X)(y-mu_Y)+sigma_X^2(y-mu_Y)^2- rhosigma_Xsigma_Y(x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_X^2sigma_Y^2(1-rho^2))=$
$=1/(1-rho^2)[(x-mu_X)^2/sigma_X^2-2rho((x-mu_x)(y-mu_Y))/(sigma_Xsigma_Y )+(y-mu_Y)^2/sigma_Y^2]$
come puoi vedere è esattamente la stessa cosa....