Siano $(X,Y)$ i.i.d. $~ Exp(\lambda)$.
$a)$ Determinare la distribuzione della v.a. $Z=X/(X+Y)$.
$b)$ Determinare la distribuzione della v.a. $W=U-V$, con $U=max(X,Y)$ e $V=min(X,Y)$.
$c)$ Stabilire se $U$ e $V$ sono indipendenti.
$d)$ Si sarebbe potuto rispondere al punto $c)$ senza fare calcoli?
$a)$ Determinare la distribuzione della v.a. $Z=X/(X+Y)$.
$b)$ Determinare la distribuzione della v.a. $W=U-V$, con $U=max(X,Y)$ e $V=min(X,Y)$.
$c)$ Stabilire se $U$ e $V$ sono indipendenti.
$d)$ Si sarebbe potuto rispondere al punto $c)$ senza fare calcoli?
$a)$ Penso sia corretto:
$F_Z(z)=\mathbb(P)(Z<=z)=\mathbb(P)(X/(X+Y)<=z)=\int_(x/(x+y)<=z)f(x,y)dxdy=\int_(0)^(+\infty)[\int_((1-z)/zx)^(+\infty)\lambda^2e^(-\lambda(x+y))dy]dx=z$
$rArr Z~U(0,1)$
$b)$ Qui ho difficoltà a continuare. Ho prima calcolato (come allenamento) ripartizione e densità sia di $U$ che di $V$, rispettivamente:
$F_U(u)=(1-e^(-\lambdau))^2rArrf_U(u)=2\lambdae^(-\lambdau)(1-e^(-\lambdau))$ (che assomiglia ad una Weibull ma non lo è)
$F_V(v)=1-e^(-2\lambdav)rArrf_V(v)=2\lambdae^(-2\lambdav)rArr V~Exp(2\lambda)$
Poi ho provato a calcolare la distribuzione di $W$ di nuovo tramite ripartizione…
$F_W(w)=\mathbb(P)(W<=w)=\mathbb(P)(U-V<=w)$
…separando i due casi:
- se $Y<X-> min(X,Y)=YrArr max(X,Y)=X rArr U-V=X-Y$;
- se $Y>X-> min(X,Y)=XrArr max(X,Y)=Y rArr U-V=Y-X$;
$rArr \mathbb(P)(U-V<=w)=\mathbb(P)(X-Y<=w|Y<X)+\mathbb(P)(Y-X<=w|Y>X)=\mathbb(P)(Y<=X-w|Y<X)+\mathbb(P)(Y<=X+w|Y>X)$
Ma qui mi blocco e non so come andare avanti
