Sia $ X ∼ M(5; 0.1, 0.3, 0.4, 0.2) $ calcolare la probabilità $ P(1 < X_1 ≤ 5, X_2 < 6, 2 ≤ X_3 ≤
8, X_4 < 9) $
Sono sicuro che oltre al metodo che esporrò nel seguito per la risoluzione, ce ne sia un altro altrettanto corretto ma più rapido e più "elegante", magari utilizzando le marginali, che però mi sfugge...
Per come si presenta la probabilità da calcolare ho pensato di "selezionare" i possibili valori delle varie componenti.
$ x_1 = {: 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 :} $
$ x_2 = {: 0 \ \ 1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 :} $
$ x_3 = {: 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 :} $
$ x_4 = {: 0 \ \ 1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 :} $
Ora sapendo che n=5 ho cercato le possibili combinazioni delle quattro variabili la cui somma è uguale a 5, trovando le seguenti:
$ {: ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ),( 3 , 0 , 2 , 0 ),( 2 , 1 , 2 , 0 ),( 2 , 0 , 2 , 1 ),( 2 , 0 , 3 , 0 ) :} $
Quindi la probabilità cercata sarà la somma della probabilità di ogni quaterna tra quelle trovate sopra. Cioè la probabilità che $ (x_1=3,x_3=2) $ + $ (x_1=2,x_2=1,x_3=2) $ + ecc.
A questo punto per ogni quaterna ho calcolato la probabilità con la formula della multinomiale, quindi:
$ P({:( 3 , 0 , 2 , 0 ):} ) = (5!)/(3!2!)*0.1^3 0.4^2 = 0.0016 $
$ P({:(2,1,2,0):} ) = (5!)/(2!1!2!)*0.1^2* 0.3* 0.4^2 = 0.0144 $
$ P({:(2,0,2,1):} ) = (5!)/(2!1!2!)*0.1^2*0.4^2*0.2= 0.0096 $
$ P({:(2,0,3,0):} ) = (5!)/(2!1!2!)*0.1^2*0.4^3= 0.0192 $
La probabilità cercata sarà quindi uguale a $ 0.0448 $
Spero che qualcuno possa confermare che il procedimento seguito porta al risultato corretto. Sono certo che ai più ferrati di voi in materia questo modo di procedere farà venire l'orticaria, per questo vi chiedo di illuminarmi su un possibile procedimento più elegante e veloce. Grazie a tutti per la disponibilità e buono studio
