mobley ha scritto:date $X,Z$ i.i.d.$~ U(1,a)$, qual'è la distribuzione di $W=(X+Y)/2$?
In Primis: stai attento quando riporti i dati.....sarà $X,Y$ uniformi i.i.d......oppure $W=(X+Z)/2$
In Secundis: stai attento all'ortografia: qual'è (con l'apostrofo) non si può guardare....
Tornando alla soluzione.....parto dal presupposto che siano $X,Y$ le marginali indipendenti.
l'integrale non è solo sbagliato....è proprio una cosa senza alcun senso logico (ho provato e riprovato a dargli un senso statistico ma non ci sono riuscito, sembra un integrale scritto a caso), oltre che inutile. Infatti, dato che la distribuzione è uniforme, l'integrale non serve a nulla....si risolve tutto con il calcolo di semplici aree geometriche.
La CDF in questione viene così:
$F_W(w)={{: ( 0 ,;w<1 ),( (2(w-1)^2)/(a-1)^2 , ;1<=w<(a+1)/2 ),( 1-(2(a-w)^2)/(a-1)^2 , ;(a+1)/2<=w<a ),( 1 , ;w>=a ) :}$
EDIT: dato che so già che la mia risposta non ti soddisferà allora ho (mio malgrado) provato a risolverlo con gli integrali (metodo totalmente inutile
1)
$F_W(w)=1/(a-1)^2 int_1^(2w-1)dxint_1^(2w-x)dy=...=(2(w-1)^2)/(a-1)^2$
che combacia con l'altro risultato (che ho calcolato come area di un triangolo, ovvero facendo semplicemente $("base "xx" altezza")/2$); questo però solo quando $w in [1;(a+1)/2)$ dopo ovviamente la solfa cambia....serve calcolare l'area di un altro triangolo oppure impostare un altro integrale (che non sto a scrivere)
Come si fa?
Come sempre con TUTTI gli integrali doppi
1) si studia la base di analisi
2) si fa il disegno del dominio
3) si vede come cambia il dominio al variare della variabile di interesse (in questo caso $w$)
4) si opera integrando nel modo più economico (con questi esempi ci sono sempre diversi modi di scrivere l'integrale corretto)
EDIT2: in modo da non aver segreti (ed anche perché la mia risposta possa essere utile a tutti) ecco come ho calcolato la prima parte della CDF (ho fatto il grafico a mano con paint di windows quindi le proporzioni fanno pene)
(click per ingrandire)
basta fare l'area del triangolino viola moltiplicata per la densità congiunta, ovvero
$1/(a-1)^2 xx (2w-1-1)^2/2=(2(w-1)^2)/(a-1)^2$
per l'ultima parte non ho fatto altro che fare uno meno l'area del triangolino residuo....quindi un calcolo del tutto simile....tempo di risoluzione max 5 minuti, senza tirare in ballo integrali doppi, calcoli complicati con conseguenti errori di calcolo, perdite di tempo ecc ecc