Problema del conteggio doppio

[nutshell93]

Salve a tutti, vorrei chiedervi delucidazioni sul problema del conteggio doppio nello stimare la probabilità di alcuni eventi.

PRIMA QUESTIONE:
Da quello che mi pare di aver capito, anche leggendo un atro post qui sul forum, quando nel dividere in più sottogruppi un gruppo dato, vi sono due sottogruppi con medesima numerosità, per non incappare nel problema del conteggio doppio devo dividere il numero di combinazioni totali per n! dove n è il numero di sottogruppi che, avendo la stessa numerosità possono essere tra loro scambiati/confusi. Corretto?

SECONDA QUESTIONE:
Nei problemi di probabilità se vogliamo introdurre l'importanza dell'ordine dobbiamo moltiplicare per il numero di elementi da riordinare, mentre se è inizialmente presente, e a noi, ai fini del nostro problema, non interessa considerarla, dobbiamo dividere il numero di elementi (combinazioni, permutazioni etc..) per n!. Corretto?


Ho dei dubbi sull'applicazione del problema del conteggio doppio ad esercizi di vario tipo, in particolare nel calcolo delle probabilità delle varie mani in una partita di poker.

POKER:


$$ \binom{13}{1} \binom{4}{4} \binom{12}{1}\binom{4}{1}$$

Primo coeff:scelgo una qualsiasi tra le 13 tipologie di carte
Secondo coeff: delle quattro carte apparteneti ad una tipologia ne prendo quattro
Terzo coeff: per la quinta carta posso scegliere una tra le rimanenti 12 tipologie
quarto coeff: della tipologia scelta ne prendo solamente una

DUBBIO: Qui non divido per 4! poiché le quattro carte che compongono il poker non sono tra loro uguali.
Corretto? Ho forse perché ho due gruppi di diversa numerosità uno da 4 e uno da 1?

TRIS:



$$\binom{13}{1}\binom{4}{3}\frac{\binom{12}{1}\binom{4}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}}{2!} $$

Primo coeff: scelgo una tra le tredici tipologie di carte
Secondo coeff: una volta scelta una delle tredici tipologie, di quella tipologia di carte ne prendo tre
ultimi quattro coeff: scelgo due carte di due denominazioni differenti

DUBBIO: Devo dividere per 2! per ovviare al problema del conteggio doppio, ma per quale motivo? Perché le ultime due carte formano due gruppi di pari numerosità(pari ad 1)? oppure perhé non mi interessa l'ordine con cui escono le ultime due carte che non fanno parte del tris? (O FORSE ENTRAMBE?)

FULL-HOUSE


$$\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}$$

DUBBIO: In questo caso ho un gruppo di numerosità tre ed un gruppo di numerosità due. Non possono essere tra loro confusi e non vi è rischio di conteggio doppio, giusto?

SCALA:



$$ [\binom{10}{1}\binom{4}{1}]\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} $$

PRIMO COEFF:scelgo la prima carte con cui iniziare la scala tra dieci definizioni, altrimenti se scegliessi una carta sopra il dieci non avrei abbastanza carte per terminare la scala
SECONDO COEFF: prendo una sola carta di quella definizione(carta di partenza della scala)
terzo,quarto,quinto e sesto coeff: una volta scelta la carta di partenza ad esempio il 7, la carta a seguire dovrà essere la successiva nella scala; in questo caso l'8 e poi il 9 etc.. e vi sono quattro possibilità da cui scegliere per ogni numero

DUBBIO:
In questo caso non devo dividere per 4! perché l'ordine conta? o forse perché essendo numeri differenti non possono essere tra loro scambiati? Qui veramente non ho capito perché!

DOPPIA COPPIA:
$$ \frac{\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{4}{2}}{2!}\binom{44}{1}$$

Primo e secondo coeff: scelgo una denominazione e di quella denominazione prendo due carte (es due carte re)
terzo e quarto coeff: scelgo una denominazione delle 12 rimanenti e ne prendo due (es due carte regina)
quinto coeff: delle 44 carte rimanenti ne prendo una

DUBBIO: Divido per il numero di permutazioni delle coppie perché l'ordine con cui estraggo le coppie non mi interessa. IL dubbio è ; ma la divisione per il numero di coppie ( in questo caso due) non la devo fare solo se esse sono tra loro indistinguibili; ( in questo caso sono coppie di differenti denominazioni, non del tutto uguali).
La questione è quindi:
Divido per n! quando ho un numero n di sottoinsiemi tra loro indistinguibili (visivamente) oppure quando non mi interessa l'ordine in cui questi sono estratti?

COPPIA :

$$ [\binom{13}{1}\binom{4}{12}]\frac{[\binom{12}{1}\binom{4}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}\binom{10}{1}\binom{4}{1}}{3!}$$

DUBBIO: Divido per 3! perché non mi interessa l'ordine con cui escono le tre carte. Qui ho veramente capito che non ho capito nulla...

Insomma avrete capito che sono abbastanza confuso; vi ringrazio in anticipo per la vostra pazienza e disponibilià.

[nutshell93]

Provo a rispondermi da solo esaminando il caso della doppia coppia (ditemi se e dove il mio ragionamento è sbagliato):
Il risultato corretto, se non sbaglio é:

$$ \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{4}{2}}{2!} \cdot \binom{44}{1} $$

Considerazioni:
1- Prendendo le combinazioni sto dicendo che l'ordine con cui prendo le carte all'interno della coppia è ininfluente

ad esempio ; {asso di picche, asso di cuori} = {asso di cuori,asso di picche } per quanto riguarda il mio problema

2- il fatto di moltiplicare per n! introduce un ordinamento tra gli n oggetti che voglio considerare, il fatto di divedere per n! elimina l'ordinamento tra gli n oggetti che voglio considerare, Ad esempio se ho due coppie in mano l'ordine non è importante; sono sempre due coppie sia che una venga prima o dopo l'altra.

Qui mi ero posto una domanda; perché devo dividere per n!? Il fatto di aver preso le combinazioni al posto delle disposizioni non mi garantisce che non ho considerato l'ordinamento?

Cosa mi sono risposto:

Il fatto di scegliere le combinazioni in vece delle permutazioni fa sì che io non tenga conto dell'ordinamento nell'esatto momento in cui vado a selezionare i sottoinsiemi di cardinalità k. Esempio invece di prendere sia {asso di cuori,asso di picche} e {asso di picche, asso di cuori} prendo solo {asso di cuori,asso di picche} poiché l'ordine è ininfluente.
Se non dividessi per 2! non terrei invece conto dell'ordinamento TRA le coppie.

Perché non divido allora per 3! ?
Perché non è possibile confondere una coppia con una carta singola avendo esse diversa cardinalità, inoltre, avendo noi considerato le combinazioni non abbiamo introdotto nessun ordinamento che vogliamo eliminare. Il problema che vogliamo risolvere dividendo per 2! è quello di eliminare le cose che vengono contate de volte. La quinta carta selezionata non viene contata due volte; provo a spiegarvi perché:

In sostanza io so che devo dividere per n! dove n è il numero di gruppi che possono essere confusi tra loro perché con medesima cardinalità (due gruppi di cardinalità differente non possono essere tra loro confusi); ma cosa significa confusi. Provo a spiegarlo col seguente esempio preso da non ricordo dove: come nel seguente esempio:

In quanti modi è possibile dividere 12 persone in tre gruppi dove un gruppo è composto da due persone e due gruppi dda cinque persone ciascuno?

Si potrebbe pensare che la soluzione sia

$$ \binom{10}{12}\binom{10}{5}\binom{5}{5} $$
tuttavia fare overcounting perché:

Immaginiamo che le persone siano A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L:
Usando il precedente algoritmo per scegliere le due squadre avrei:
1- scelgo prima le due persone {A,B}
2-scelgo il gruppo di cinque {C.D.E.F.G}
3-le rimanenti formano un gruppo {H,I,J,K,L}

I gruppi sono quindi

$ \cdot $ AB
$ \cdot $ CDEFG
$ \cdot $ HIJKL

Supponiamo ora invece di scegliere le squadre come segue:

1-scelgo prima le due persone {A,B}
2-scelgo il gruppo di cinque {H,I,J,K,L}
3- le rimanenti formano una squadra {C,D,E,F,G}

I gruppi sono quindi

$ \cdot $ AB
$ \cdot $ HIJKL
$ \cdot $ CDEFG
Abbiamo due volte lo stesso, risultato. Così avviene il conteggio doppio.
è come se pensassimo differenti due gruppi solo perché sono stati scelti in ordine differente.Per questo dividiamo per 2! perché sappiamo che al massimo possiamo confondere due gruppi formati dallo stesso numero di elementi (in questo caso i due gruppi da cinque). Dividendo per 2! abbiamo così eliminato l'influenza dell'ordinamento "infragruppo".

In generale la sovrastima non è sbagliata.
Quando l'ordine con cui sto formando i gruppi conta allora non ci sono problemi. Invece in casi come questo delle squadre, non conta né l'ordine nel gruppo né l'ordine infragruppo.

Evitiamo di considerare l'ordinamento tra i gruppi dividendo per il numero di permutazioni tra loro confondibili poié di uguale cardinalità.
Evitiamo di considerare l'ordine all'interno del gruppo usano le combinazioni in vece delle disposizioni.

Possiamo vederla in questo modo:
-Se i gruppi sono distinti (labeled) la risposta iniziale è corretta.
-se i gruppi sono indistinti allora bisogna dividere per il numero di gruppi con stessa cardinalità.

Ritornando al nostro caso della doppia coppia:

Con l'esempio dei tre gruppi appena fatto si capisce perché devo dividere per 2! e ad esempio non per 3!.
Intanto le coppie selezionate non sono LABELED sebbene le due coppie siano formate a partire da diverse denominazioni perché a me non interessa considerare che una doppia coppia di Jack e di assi sia migliore di una doppia coppia di 7 e 3. Sto considerando semplicemnte l'insieme di TUTTE le doppie coppie. Quindi NO LABELED.

In sostanza di fronte ad esercizi del genere mi conviene ragionare come segue.
"se ho due coefficienti binomiali con medesimo k, e mi interessa il caso NO LABELED allora sto facendo overcounting":
La carta singola, quella che non fa parte delle due coppie, non può essere contata due volte poiché Intanto la conto tra le 44 carte rimanenti, e come ho detto ha cardinalità differente.

In questo caso l'overcounting è analogo a quello dell'esempio dei due team.

1- prima pesco coppia di 7
2 - poi pesco la coppia di assi
3- poi pesco una quinta carta tra le 44 rimanenti

oppure

1- prima pesco una coppia di assi
2- poi pesco una coppia di 7
3- poi pesco la quinta carta tra le 44 rimanenti

in ogni caso formo i tre gruppi {77,AA, quinta carta}

Il coefficiente binomiale che pesca la quinta carta non mi genera problemi perché

a- pesca da un altro insieme di carte (le 44 rimanenti)
b-ha differente cardinalità

Avendo l'ultimo coefficiente cardinalità non genere overcounting poiché un gruppo di 1 elemento non potrà mai ripetere gli elementi di un gruppo di due. non andrà quindi a concorrere nel generare più insiemi con medesimi elementi.
Dividendo per il numero di gruppi di uguali cardinalità elimino l'ordinamento tra tali sottoinsiemi e quindi l'overcounting.

Ma perché la divisione per n! elimina l'ordinamento?

Scusate sono in loop.


Vi ringrazio per la vostra disponibilità e attenzione.Sperando in una vostra gentile risposta vi auguro una buona serata.

[nutshell93]

Se scelgo una carta per volta ad esempio

$$\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$

ci può essere overcounting?