Dado colorato

[mobley]

Il secondo punto mi mette in difficoltà: non riesco a capire come interpretare la domanda.

Un dado bilanciato ha due facce blu, due rosse e due verdi. Viene lanciato ripetutamente.
a) Calcolare la probabilità che non tutti i colori appaiano nei primi k lanci, per un generico k positivo.
b) Se $N$ è la variabile aleatoria che assume il valore $n$ se tutti e tre i colori si manifestano nei primi $n$ lanci, ma solo due colori sono apparsi nei primi $n − 1$ lanci, calcolare $\mathbb(E)[N]$.

a) La probabilità è $(2^k-1)/(3^(k-1))$ perchè alla probabilità che non esca nessuna verde, nessuna rossa e nessuna blu ho sottratto la probabilità "doppione" che escano tutte blu, tutte rosse e tutte verdi.
b) $N$ è discreta, quindi $\mathbb(E)[N]:=\sum n\mathbb(P)(N=n)$. Ora, se il testo dice che fino ai primi n-1 lanci sono usciti solo 2 colori, devo calcolare la probabilità che escano 3 colori esattamente all'n-esimo lancio? Forse sto interpretando male la consegna.

[mobley]

Ecco un altro esercizio coi colori su cui sono bloccato:

Un'urna contiene palline Rosse, Gialle e Blu, con $\mathbb(P)(1R)=r$, $\mathbb(P)(1G)=g$, $\mathbb(P)(1B)=b$ e $r+g+b=1$.
Trova il numero medio di colori diversi di palline estratte prima di ottenere la prima pallina rossa.

Il punto precedente, che chiedeva di trovare il numero medio di palline estratte prima della prima pallina rossa, è $(1-r)/r$ con $X$ geometrica di parametro $r$. In questo caso, invece, riscontro difficoltà più o meno analoghe a quelle dell'esercizio precedente. Ho provato a ragionare così.
L'urna contiene un numero indefinito $n$ di palline di tre colori. Siccome ho come punto di riferimento la prima rossa (che potrebbe uscire alla $k$-esima estrazione), significa che nelle $k-1$ estrazioni procedenti può uscire un colore solo oppure due. La probabilità che nelle $k-1$ estrazioni non esca il rosso, che esce alla $k$-esima, e sotto l'ipotesi che esca un colore solo (ad es. blu) dovrei poterla scrivere così:

$\mathbb(P)($esce solo blu $nn$ rosso alla $k$-esima$)$ $=\sum_(k=1)^(k-1)\mathbb(P)(X=b_k)\cdot r(1-r)^(k-1)=b^(k-1)\cdot r(1-r)^(k-1)$

Tuttavia il rosso potrebbe uscire anche alla $k=1$ estrazione quindi non so se è l'approccio giusto…

Supponendo che lo sia, per lo stesso ragionamento, la probabilità che nelle $k-1$ estrazioni non esca il rosso e sotto l'ipotesi che escano due colori (ad es. potrebbe uscire il giallo oppure il blu):

$\mathbb(P)($esce blu $uu$ giallo $nn$ rosso alla $k$-esima$)$ $=\sum_(k=1)^(k-1)\mathbb(P)(X=b_k uu g_k)\cdot r(1-r)^(k-1)$

che per l'incompatibilità degli eventi

$=\sum_(k=1)^(k-1)(\mathbb(P)(X=b_k)+ \mathbb(P)(X=g_k))\cdot r(1-r)^(k-1)=(b^(k-1)+g^(k-1))\cdot r(1-r)^(k-1)$

Ora però non so come continuare. Come sfrutto (sempre che il ragionamento sia giusto) queste informazioni?


EDIT: L'esercizio in questione termina con il seguente punto:

Dopo n estrazioni, trovare la probabilità che almeno due delle palline estratte siano R sapendo che almeno una è R.

Se vale il ragionamento precedente:

$\mathbb(P)($almeno 2 rosse$|$almeno 1 rossa$)$ $=1/(1-r) \sum_(k=2)^n \mathbb(P)(X=r_k)$

[tommik]

Ecco un altro esercizio coi colori su cui sono bloccato:

Un'urna contiene palline Rosse, Gialle e Blu, con $\mathbb(P)(1R)=r$, $\mathbb(P)(1G)=g$, $\mathbb(P)(1B)=b$ e $r+g+b=1$.
Trova il numero medio di colori diversi di palline estratte prima di ottenere la prima pallina rossa.

speravo che qualcuno rispondesse almeno a questi esercizi elementari di calcolo delle probabilità ma a quanto pare nessuno si è fatto vivo..... comunque la cosa è molto semplice (si suppone ovviamente un'estrazione con reimmissione)

Il numero di colori diversi prima che esca la prima rossa, ovvero il numero di colori diversi dal rosso possono essere soltanto 3:

1) ZERO: esce subito la rossa alla prima estrazione

2) UNO: se ad esempio esce GGGGGR oppure BBR ecc ecc

3) DUE: se esce ad esempio GBR, GGGGGGGGGGBBBBGGGGGBR ecc ecc

Quindi la funzione di massa di probabilità è la seguente:

$X={{: ( P(X=0) ,if , x=0 ),(P(X=1) ,if , x=1 ),(P(X=2) ,if , x=2 ) :}$

$P(X=0)=r$

$P(X=1)=rg/(1-g)+rb/(1-b)$

$P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

e la media è

$mathbb{E}[X]=P(X=1)+2P(X=2)$

fine

le altre domande poste sono più o meno tutte uguali, si tratta di conoscere e saper trattare le solite distibuzioni note: geometrica, binomiale negativa ecc ecc

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Curiosità: un paio di anni fa postavi quesiti di Econometria, poi di Statistica applicata anche molto avanzata con l'uso di Martingale, Processi stocastici, integrale di Ito ecc ecc, qualche tempo fa esercizi intermedi di calcolo delle probabilità (trasformazioni di variabile ecc ecc)....ora siamo alla base del calcolo delle probabilità

...ma stai facendo il programma tutto al contrario?

[mobley]

speravo che qualcuno rispondesse almeno a questi esercizi elementari di calcolo delle probabilità ma a quanto pare nessuno si è fatto vivo.....

Sarà un caso?

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Soddisfo la tua curiosità Nel mio corso mastico matematica e statistica in tutte le salse per future applicazioni in ambito finanziario, tant'è che più della metà dei miei colleghi (su un totale di 60 circa… sarà un caso anche un così basso numero di iscritti ) provengono da triennali in matematica e statistica. E fin qui ok. Purtroppo, come ben sai, l'insegnamento delle materie è gestito da altrettanto vari docenti. E sebbene in alcuni corsi si siano trattati argomenti decisamente più ostici (martingalità dei processi, modelli $\mathbb(Q)$-dinamici che includono sistemi a più equazioni di Riccati, stima di andamenti e volatilità di derivati tramite algoritmi o formule di probabilità (es. Montecarlo, alberi multinomiali, Gil-Pelaez etc.), la differenza tra affrontare agevolmente una materia o meno è l'abilità del professore nel trasmettere le nozioni: c'è chi con linguaggio semplice riesce a tradurre concetti complessi, fermandosi se necessario per ulteriori richiami o approfondimenti, e chi invece presuppone l'onniscienza dello studente andando avanti come un treno sebbene la classe intera lo guardi interdetta. A tal proposito mi viene in mente Antonio di Pietro: credo che nessuno oserebbe mettere in discussione la sua preparazione giuridica ma...

Per il resto è tutto chiaro. Ma capitano spesso problemi di probabilità pura che si rivelano decisamente più complessi (dal punto di vista della logica di fondo) di altri che magari richiedono concetti più avanzati.

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Comunque per tornare alla Statistica avanzata che chiedevi… Aspetta qualche settimana che arrivo a bombardarti su catene di Markov e seguenti