Esercizio probabilità su popolazione di pazienti

[a.pisano24]

Mi trovo davanti questo esercizio, ho fatto una prova ma la risposta mi sembra poco plausibile (una probabilità risultante molto bassa) mentre alla seconda domanda nonostante ci rifletta da qualche ora non riesco a giungere alla soluzione.

testo: Uno studio medico ha una popolazione di 25 pazienti affetti da 3 diverse patologie (5 ulcera, 7 reflusso e 13 gastrite), devo dividerli in due gruppi, uno di questi sarà trattato con un farmaco X l'altro gruppo sarà formato da 12 persone e verrà trattato con un farmaco a effetto placebo e sarà il nostro gruppo di controllo.
Quale probabilità ci sarà di avere egual numero di rappresentanti per ogni patologia nel gruppo formato da 12 persone di controllo?
(di conseguenza dovrò conoscere la probabilità che il gruppo sia formato da 4 pazienti con ulcera, 4 con gastrite e 4 con reflusso)
Ponendo il caso che il gruppo di controllo sia formato come sopra, ponendo il caso i pazienti siano posti in due registri (uno per ogni gruppo). Quale probabilità ci sarà che prendendo un registro a caso e leggendo di un paziente con ulcera, questo sia del gruppo di controllo?

[ghira]

Come funziona la seconda domanda? Apro un registro a caso e cerco un paziente con l'ulcera? In questo caso non sembra possibile rispondere alla domanda.

Forse prendo un registro a caso, guardo un paziente scelto a caso in quel registro, e mi trovo davanti uno con l'ulcera?

In questo caso si può fare, e mi sembra più elementare della prima domanda. Si può fare "a mano".

Finora dove sei arrivato/a da solo/a con questi problemi? Qualche risposta parziale?

[a.pisano24]

La seconda domanda funziona esattamente come hai supposto, un medico prende un registro a caso (non sono nominati per non avere effetti sui medici durante la lettura dei dati) e legge di un paziente con ulcera, si vuole sapere la percentuale della probabilità che il registro preso sia quello del gruppo di controllo.

Per la prima domanda io ho provato ad abbozzare una risoluzione:
Ho calcolato la probabilità similmente ai classici problemi sui mazzi di carte/palline
$ P=4/5*(1/12)+4/7*(1/11)+4/13*(1/10) $
Di questa poi ho calcolato che ci possono essere 6 possibili combinazioni differenti di questo, quindi ho moltiplicato il risultato per 6
Ottengo però una probabilità di 0.93 che obiettivamente mi sembra abbastanza alta quindi penso non sia il ragionamento giusto