Clienti dal medico

[mobley]

Un medico ha fissato due appuntamenti, uno alle 15 e uno alle 15:30. Il tempo di durata di ciascuna visita è una variabile aleatoria esponenziale con media pari a 30 minuti. Inoltre le due durate sono indipendenti. Assumiamo che i due pazienti arrivino puntualmente. Determinare:
a) la distribuzione del tempo di attesa del secondo cliente.
b) la media di tale distribuzione.
c) Se invece assumiamo che il primo cliente possa arrivare in un tempo distribuito uniformemente tra le 14:50 e le 15:10, come cambia la risposta ai due punti precedenti?

a) La distribuzione di $T$ è $F_T(t)={ ( 0 ),( (e-1)/e ),( 1/e ):}{: ( t<0 ),( t=0 ),( t>0 ) :}$.
b) la media è $E[T]=30/e$.
c) Nulla. Avete qualche idea?

[tommik]

Questa è la distribuzione corretta:

$F_T(t)={{: ( 0 ,;t<0 ),( 1-e^(-1), ;t=0 ),( 1-e^(-(t/30+1)) , ;t>0 ) :}$

come vedi è una distribuzione mista, non assolutamente continua perché concentra massa di probabilità positiva in $t=0$ ed ha giustamente un solo punto di discontinuità.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Basta considerare che $X=T+30$.

Il risultato è una funzione non decrescente e si ha che $F_T (-oo)=0$ e $F_T (+oo)=1$.

La tua $F$ invece è discontinua in 2 punti ed in uno dei due concentra addirittura massa di probabilità NEGATIVA....inoltre hai $F_T (+oo)=1/e$.


La media è sorprendentemente corretta....non so che calcoli tu abbia fatto visto che la distribuzione è errata e la media va calcolata con la solita definizione:

$mathbb{E}[T]=int_0^(+oo)e^(-t/30-1)dt=30/e~~ 11" minuti e 2 secondi"$

Per il punto c), unica parte interessante dell'esercizio, occorre partire dal fatto che il tempo di attesa non sarà zero quando la visita del primo paziente dura meno di 30 minuti (come hai fatto nel primo caso) ma sarà zero quando il tempo della durata della prima visita è $X<=30-A$ minuti, dove $A$ è una variabile uniforme in $[-10;10]$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

e quindi basta integrare la congiunta sul seguente supporto

fatto questo il resto del procedimento è identico al punto a)

Ho fatto i conti¹ e mi viene così:

$F_T(t)={{: ( 0 ,;t<0 ),( 1-3/2[e^(-2/3)-e^(-4/3)], ;t=0 ),(1-3/2[e^(-2/3)-e^(-4/3)]e^(-t/30) , ;t>0 ) :}$

di media

$mathbb{E}[T]=int_0^(+oo)3/2[e^(-2/3)-e^(-4/3)]e^(-t/30)dt~~ 11" minuti e 15 secondi"$

ma che belli questi esercizi...


....buon lavoro

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Note

1. in realtà ho usato un trucchetto che permette di trovare il risultato senza fare alcun conto ma solo ragionando sui risultati precedenti e poi, per scrupolo, ho fatto tutti i conti analiticamente arrivando al medesimo risultato ↑

[mobley]

Grazie mille maestro! E' tutto davvero chiarissimo! Rispondo solo ora perché mi sono studiato per bene quello che hai scritto e ho cercato così di fare uno specchietto generale per la risoluzione di problemi che richiedono il calcolo del tempo di attesa. L'unica cosa che mi lascia perplesso è quel $3/2$ della distribuzione finale. Intendo dire che

$\mathbb(P)(X<=40,A<=0)=\mathbb(P)(A<=0)\mathbb(P)(X<=40|A<=0)=1/2-1/2e^(-4/3)$

da cui

$\mathbb(P)(T=0)=1/2-1/2e^(-4/3)+1/2-1/2e^(-2/3)=1-1/2[e^(-2/3)+e^(-4/3)]$

[ghira]

Mobley: Hai provato a calcolare l'integrale di cui parla tommik? Viene (abbastanza ovviamente) esattamente come dice.