oggi non vi chiederò aiuto per lo svolgimento di esercizi (o almeno credo ) ma un chiarimento sul ragionamento da fare per impostare il calcolo della densità del massimo di due variabili dipendenti
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o di un minimo… supponendo che il ragionamento da fare sia lo stesso.
Ciononostante inserirò due esercizi, ma soltanto come spunto per sviluppare il ragionamento che sto provando a condurre in porto
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Non credo di violare il regolamento dato che non ne chiedo la soluzione ma se così fosse modificherò il post.
ESERCIZIO N° 1 - Si sceglie un punto a caso nel triangolo di vertici $A=(0,0),B=(1,3),C=(2,0)$. Sia $(X,Y)$ la v.a. doppia che indica il punto scelto. Calcolare:
a) la densità di $(X,Y)$.
b) la densità di $V=max(X,Y)$.
c) la densità di $W=min(X,Y)$.
d) la densità di $Z=V-W$.
ESERCIZIO N° 2 - Si sceglie un punto a caso nel triangolo di vertici $A=(0,0),B=(0,1),C=(1,0)$. Sia $(X,Y)$ la v.a. doppia che indica il punto scelto. Calcolare:
a) la densità di $(X,Y)$.
b) la densità di $V=max(X,Y)$.
c) la densità di $W=min(X,Y)$.
d) la densità di $Z=V-W$.
Allora… Iniziamo col dire che il punto a) è rispettivamente $f(x,y)=1/3$ e $f(x,y)=2$. Il ragionamento da fare è lo stesso in entrambi i casi. Ad es. nel caso dell'esercizio n° 2, se si disegna il triangolo rettangolo definito dalle due $U~ (0,1)$ tagliato a metà dalla bisettrice 1° - 3° quadrante si può osservare che $\forall x \in (y<x uu x<1/2)rArr 1/2-x<1/2-y/2$, da cui seguono gli intervalli $(0<y<1)$ e $(y/2<x<1-y/2)$ e quindi
$1=\int_0^1[\int_(y/2)^(1-y/2)f(x,y)dx]dyrArr f(x,y)=2$
Usiamo la densità congiunta così ottenuta per determinare la densità del massimo. Applicando la definizione di ripartizione abbiamo $F_V(v):=\mathbb(P)(V<=v)=\mathbb(P)(max(X,Y)<=v)=\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)$. Bene.
Ora viene il bello. Il testo non specifica l'indipendenza delle variabili (e non è sufficiente la rettangolarità del dominio), quindi dobbiamo supporre che le due variabili siano in qualche modo dipendenti. Infatti se $X_|_Y$ basterebbe applicare l'indipendenza $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v):=\mathbb(P)(X<=v)\mathbb(P)(Y<=v)$ e sostituire alle singole probabilità le relative funzioni di ripartizione (che restituirebbero una densità $f_V(v):=(\partial(F_V(v)))/(\partial v)=2v$). Tuttavia non è questo il caso, e da quanto ho capito io quando le variabili sono dipendenti bisogna andare a studiare $\forall v \in \mathbb(R)$ quali valori assume $F_V(v)$. Allora, tenendo presente che il valore che divide il triangolo in tre sezioni (rispettivamente un quadrato e due triangoli rettangoli) è $1/2$, dovremmo avere:
- per $v<=0: F_V(v)=0$ (sia per definizione stessa di ripartizione $0<=F_X(x)<=1$ sia perchè il dominio, delimitato dalle due Uniformi, ha come estremo inferiore l'origine).
- per $v>1: F_V(v)=1$ (sia per definizione stessa di ripartizione sia perchè il dominio ha come estremi superiori i punti $(0,1)$ e $(1,0)$).
- per $(0<v<=1/2)?->$ Supponiamo che $X=v$, con $v \in \mathbb(R)$ generico. La proiezione sull'asse delle Y del punto di intersezione tra $X=v$ e la bisettrice del 1° - 3° quadrante restituisce un analogo valore di $Y$, e viene così a formarsi un quadrato di lato $(v-0)=v$ la cui lunghezza può variare tra un minimo di 0 (in tal caso il quadrato sarebbe un punto) e un massimo di $v=1/2$, dove $v$ è proprio il massimo tra le due variabili (cioè - credo - è come se avessimo $max(1,1)=1$). Allora
$f(x,y)\cdot[$area quadrato di lato $v]=2v^2$
E questo risultato sembrerebbe confermato dal fatto che $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)=\int_0^v[\int_0^v2dx]dy=2v^2$.
- per $(1/2<v<=1)?->$ Se $v$ è compreso in questo intervallo viene a formarsi un quadrato di lato $1/2+v$ di cui una parte è compresa nel dominio (i due triangolini evidenziati in figura di area $2((1-v)^2)/2$) e una parte no (i triangoli segnati con 1,2,3,4).
Bene. Qui ho difficoltà proprio a visualizzare il massimo… Ho pensato di sottrarre dall'area del quadrato i due triangoli (il tutto ovviamente moltiplicato per la densità) ma non viene:
$f(x,y)\cdot[$area quadrato di lato $1/2+v-2((1-v)^2)/2$ $]=…$
Ho anche provato con $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)=\int_(1/2)^1[\int_(1/2)^12dx]dy=2(1-v)^2$, ma il risultato è $1-2(1-v)^2$.
Ora, non è tanto il fatto che non mi venga il risultato ma non riesco proprio a "vedere" questo massimo: è il lato del quadrato? Come lo si riconosce un "massimo"?
Lo stesso potrei dire nel caso dell'esercizio n° 1: perchè per $(0<v<=3/2)rArr F_V(v)=1/3\cdot (v^2-$ area triangolino esterno a sinistra $)$? Sta ovviamente sottraendo un'area che non rientra nel dominio ma dove starebbe il massimo? Ho proprio difficoltà ad inquadrarlo.
Mi scuso:
- se mi sono dilungato (ma avevo necessità di esporre ogni dubbio)
- se ho inserito la foto (ma ne avevo necessità anche in questo caso. Confido nella buon anima della moderazione ).
Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi e spiegarmi!