Probabilità persone separate da individui

[3m0o]

Supponiamo che \( N \) persone si mettono in fila in un ordine aleatorio. Siano \(A,B \) due individui tra le \(N \) persone. Qual'è la probabilità che
i) \(A \) e \(B \) sono uno di fianco all altro?
ii) \(A \) e \(B \) sono separati da esattamente \(r \) individui?

Questa la mia idea, nel punto ii) ho difficoltà a semplificare l'espressione se è corretta.

i) Se denotiamo con \( G \) l'evento \(A \) e \(B \) sono uno di fianco all altro, e con \(G_j \) l'evento \( A \) è in posizione \( j =1,\ldots,N \), allora
\[ P(G) = \sum\limits_{k=1}^{N} P(G_k)P(G \mid G_k) \]
Pertanto è facile calcolare \( P(G_k)= \frac{1}{N} \) e pure \(P(G \mid G_1)=P(G \mid G_N) = \frac{1}{N-1} \), mentre per \( k=2,\ldots,N-1 \) abbiamo \( P(G \mid G_k)= \frac{2}{N-1} \) pertanto
\[ P(G) = \sum\limits_{k=1}^{N} P(G_k)P(G \mid G_k) = \sum\limits_{k=1}^{N-1} \frac{2}{N(N-1)}=\frac{2}{N}\]

per ii) ragiono con lo stesso principio di i) ma sta volta denotiamo con \(G \) l'evento \(A \) e \(B \) sono separati da esattamente \(r \) individui. Abbiamo sempre \( P(G_k)= \frac{1}{N} \), mentre credo che \( P(G \mid G_k)= \frac{\mathbf{1}_{N-k-r>0}}{N-1}+\frac{\mathbf{1}_{k-1-r>0}}{N-1} \)
dove \[ \mathbf{1}_{N-k-r>0}= \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & N-k-r >0\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right.\]
e rispettivamente
\[ \mathbf{1}_{k-1-r>0}= \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & k-1-r >0\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right.\]
Pertanto abbiamo
\[ P(G) = \sum\limits_{k=1}^{N} P(G_k)P(G \mid G_k) = \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{N} \left( \frac{\mathbf{1}_{N-k-r>0}}{N-1}+\frac{\mathbf{1}_{k-1-r>0}}{N-1}\right)\]
non riesco a fare meglio di così, qualcuno vede come semplificare questa somma?

[ghira]

Soluzioni magari più "semplici" di quelle di 3m0o:

Supponiamo che \( N \) persone si mettono in fila in un ordine aleatorio. Siano \(A,B \) due individui tra le \(N \) persone. Qual'è la probabilità che
i) \(A \) e \(B \) sono uno di fianco all altro?

Se A e B sono uno accanto all'altro il primo dei due deve essere in posizione $1$, ..., $N-1$. E possono essere A poi B o B poi A. Le altre persone possono essere disposte in $(N-2)!$ modi. Probabilità di A accanto a B,
$\frac{2(N-1)(N-2)!}{N!}=\frac{2}{N}$

ii) \(A \) e \(B \) sono separati da esattamente \(r \) individui?

Il primo di A e B può essere in posizione $1$, ..., $N-r-1$. E possono essere A poi B o B poi A. Le altre persone possono essere disposte in $(N-2)!$ modi. Probabilità di $r$ individui fra A e B $\frac{2(N-r-1)(N-2)!}{N!}=\frac{2(N-r-1)}{N(N-1)}$