Probabilità 2 urne.

[3m0o]

Consideriamo due urne \( A \) e \(B \), la prima contiene \( 100-a \) palline nere e \( a \) palline rosse, la seconda \(100-b\) palline bianche e \(b \) palline rosse, con \( 1 \leq a,b\leq 99 \) interi.
Un estrazione significa estrarre 1 pallina dalla urna \( A \) e 1 pallina dall'urna \(B \). Dopo ciascuna estrazione reinseriamo le palline nelle loro urne.
i) Se effettuiamo 5 estrazioni qual'è la probabilità di ottenere esattamente 3 palline rosse?
ii) Sia \(R \) il numero di palline rosse estratte in ciascuna estrazione. Calcolare la legge di \(R \), il suo valore atteso e la sua varianza
iii) Travasiamo tutte le palline in una sola urna \(C \), effettuiamo due estrazioni con rimessa. Calcolare la legge \( \tilde{R} \), il numero di palline rosse estratte, il suo valore atteso e la sua varianza.

Io ho pensato di fare nel seguente modo per il punto i)
Sia \( X=(X^{(A)},X^{(B)}) \) una variabile aleatoria che rappresenta il numero di palline estratte in 5 estrazioni. Abbiamo che
\[ X= \sum\limits_{k=1}^{5} X_k \]
dove \( X_k =(X_k^{(A)},X_k^{(B)}) \) è il numero di palline rosse estratte nell'estrazione \(k \).
\[ P\{X=3\} = \sum\limits_{k=0}^{3} P\{X^{(A)}=k \mid X^{(B)}=3-k \}P\{X^{(B)}=3-k\} \]
siccome \( X^{(A)} \) e \( X^{(B)} \) sono indipendenti abbiamo che
\[ P\{X=3\} = \sum\limits_{k=0}^{3} P\{X^{(A)}=k \}P\{X^{(B)}=3-k\} \]
Ora abbiamo
\[ X^{(A)} = \sum\limits_{k=1}^{5} X_k^{(A)} \] e rispettivamente
\[ X^{(B)} = \sum\limits_{k=1}^{5} X_k^{(B)} \]
Siccome ciascuna estrazione è una prova indipendente dalle altre e abbiamo che le estrazioni sono con rimessa. Diciamo che l'estrazione \( k \) ha avuto "successo" se esce la pallina rossa, mentre se esce una pallina non rossa diremo che l'estrazione è stata fallimentare.
Per \( 0 \leq k \leq 3 \) abbiamo che \( s_1, \ldots, s_k, f_{k+1}, \ldots, f_{5} \) abbiamo che è una combinazione possibile di \( k \) successi in 5 estrazioni. Per l'urna \(A \) ciascun successo ha probabilità \( \frac{a}{100} \) di avvenire e ciascun fallimento ha probabilità \( 1-\frac{a}{100} \) di avvenire. Pertanto abbiamo che la proabilità di ottenere \( k \) successi in quest'ordine è
\[ \frac{a^k}{100^k} \left( 1 - \frac{a}{100} \right)^{5-k} \]
Siccome abbiamo \( C_{5,k} \) modi di distribuire \(k \) successi in \( 5 \) estrazioni abbiamo che
\[ P\{ X^{(A)} = k \}= \binom{5}{k}\frac{a^k}{100^k} \left( 1 - \frac{a}{100} \right)^{5-k} \]
analogamente per l'altra urna abbiamo
\[ P\{ X^{(B)} = 3-k \}= \binom{5}{3-k} \frac{b^{3-k}}{100^{3-k}} \left( 1 - \frac{b}{100} \right)^{2+k} \]
Pertanto abbiamo che
\[ P\{X=3\} = \sum\limits_{k=0}^{3} \binom{5}{k}\frac{a^k}{100^k} \left( 1 - \frac{a}{100} \right)^{5-k} \binom{5}{3-k} \frac{b^{3-k}}{100^{3-k}} \left( 1 - \frac{b}{100} \right)^{2+k} \]


vi sembra corretto?

[3m0o]

Per il punto ii)
Non so come calcolare la legge di \(R \).
Abbiamo che \( R = X_k^{(A)} + X_k^{(B)}\), per un qualche \(k \), pertanto segue dalla linearità della speranza che
\[ \mathbb{E}[R]= \mathbb{E}[X_k^{(A)}]+\mathbb{E}[X_k^{(B)}]= 1\cdot P\{X_k^{(A)}=1\}+1\cdot P\{X_k^{(B)}=1\} = \frac{a}{100} + \frac{b}{100} \]
E per la varianza abbiamo che (edit: poiché \( X_k^{(A)} \) e \( X_k^{(B)} \) sono indipendenti )
\[ \operatorname{Var}(X_k^{(A)} + X_k^{(B)}) = \operatorname{Var}(X_k^{(A)})+ \operatorname{Var}(X_k^{(B)})=\mathbb{E}[\left( X_k^{(A)} - \mathbb{E}[X_k^{(A)}] \right)^2] +\mathbb{E}[\left( X_k^{(B)} - \mathbb{E}[X_k^{(B)}] \right)^2] \]

Come faccio ad esempio a calcolare
\[ \mathbb{E}[\left( X_k^{(k)} - \mathbb{E}[X_k^{(A)}] \right)^2] \]

Edit:
Probabilmente visto che \( X_k^{(A)} \) e \( X_k^{(B)} \) sono variabili aleatorie di Bernoulli abbiamo che \( R \) è una variabile aleatoria di Bernoulli (ma non sono sicuro)

In ogni caso per la varianza
\[ \operatorname{Var}(X_k^{(A)})= \mathbb{E}[(X_k^{(A)})^2] - \mathbb{E}[X_k^{(A)}] ^2 \]
inoltre
\[ \mathbb{E}[(X_k^{(A)})^2] = 1 \cdot P\{(X_k^{(A)})^2=1\} + 0 \cdot P\{(X_k^{(A)})^2=0\}= \frac{a}{100} \]
Pertanto
\[ \operatorname{Var}(X_k^{(A)})= \mathbb{E}[(X_k^{(A)})^2] - \mathbb{E}[X_k^{(A)}] ^2= \frac{a}{100} \left(1-\frac{a}{100} \right) \]

Allo stesso modo
\[ \operatorname{Var}(X_k^{(B)})= \mathbb{E}[(X_k^{(B)})^2] - \mathbb{E}[X_k^{(B)}] ^2= \frac{b}{100} \left(1-\frac{b}{100} \right) \]
pertanto
\[ \operatorname{Var}(X_k^{(A)} + X_k^{(B)})=\frac{a}{100} \left(1-\frac{a}{100} \right) + \frac{b}{100} \left(1-\frac{b}{100} \right) \]