sia dato un processo aleatorio gaussiano ergodico $X(t)$ avente spettro di densità di potenza
\[ S_X(f)=\frac{2\alpha}{\alpha^2+4\pi^2f^2}\].
Calcolare a). la densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie $X_1=X(t_1)$ e $X_2=X(t_2)$ estratte dal processo in due istanti $t_1$ e $t_2$ e b). la densità di probabilità della variabile aleatoria $X_2=X(t_2)$ condizionata al fatto che la variabile aleatoria $X_1=X(t_1)$ assuma il valore $X_1=2$.
Finora il procedimento che ho seguito è il seguente:
essendo ergodico il processo, la media e la varianza sono le stesse per tutte le variabili aleatorie estratte e sono costanti. Ogni variabile inoltre ha densità di probabilità data da
\[p_X(x)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)\sigma_X}e^{\frac{-(x-m_X)^2}{2\sigma_X^2}}\]
Calcolo la varianza come valore atteso del processo al quadrato, che coincide con l'autocorrelazione valutata in $\tau=0$. Per il teorema di Wiener so che l'antitrasformata di Fourier di $S_X(f)$ mi dà l'autocorrelazione del processo, e ho $\sigma_X^2=4\pi^2$. Tramite la relazione $\sigma_X^2=E[X^2]-(E[X])^2$ ho che la media del processo e delle variabili è nulla. Da qui voglio calcolare la densità di probabilità congiunta, ma ho bisogno del coefficiente di correlazione che secondo i miei calcoli è 1. Se effettivamente fosse 1 la densità di probabilità sarebbe nulla, il che è ovviamente sbagliato, ma non so proprio dove sia l'errore e come continuare il procedimento. Vi ringrazio per la risposta
