Distribuzione geometrica

$ P{X>4} = sum_{k=5}^{oo} p(1-p)^{k-1}=p sum_{k=5}^{oo}(1-p)^{k-1} = p/(1-p)sum_{k=5}^{oo}(1-p)^k = p/(1-p)*1/(1-p)- sum_{k=1}^{4} (1-p)^k = p/(1-p)*1/(1-p)- (1-p)- (1-p)^2- (1-p)^3- (1-p)^4 = (p-(1-p)^3(1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3))/(1-p)^2 = (p-(1-p)^3(2-p+(1-p)^2+(1-p)^3))/(1-p)^2 $Sia X v.a. discreta geometrica. $P{X=x} = p(1-p)^{x-1}, x>=1$.
Sappiamo che $P{X>=3} = \alpha$. Calcolare p, P{X<=4|X>=3}.

Il primo punto l'ho ignorato.

Per il secondo, mi sono rifatto alla dimostrazione dell'Expectation ma con un trick alternativo:
- Calcolo $P{X>4}$ considerando che è una distribuzione a valori discreti:
$P{X>4} = sum_{k=5}^{oo} p(1-p)^{k-1}=p sum_{k=5}^{oo}(1-p)^{k-1} = p/(1-p)sum_{k=5}^{oo}(1-p)^k = p/(1-p)*1/(1-p)- sum_{k=1}^{4} (1-p)^k = p/(1-p)*1/(1-p)- (1-p)- (1-p)^2- (1-p)^3- (1-p)^4 = (p-(1-p)^3(1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3))/(1-p)^2 = (p-(1-p)^3(2-p+(1-p)^2+(1-p)^3))/(1-p)^2$

Applicando la regola di Bayes:
$ P{X<=4|X>=3} = (P{3<=X<=4})/(P{X>=3}). $
Utilizzando i valori conosciuti possiamo anche scrivere:
$ (P{3<=X<=4})/(P{X>=3}) = (P{X>=3}-P{X>4})/(P{X>=3}) =(\alpha-(p-(1-p)^3(2-p+(1-p)^2+(1-p)^3))/(1-p)^2)/(\alpha)$

Per trovare p ho bisogno di voi, attendo aiuto caritatevole

Sia X v.a. discreta geometrica. $P{X=x} = p(1-p)^{x-1}, x>=1$.
Sappiamo che $P{X>=3} = \alpha$. Calcolare p, P{X<=4|X>=3}.

Hint: prima di buttarsi a pesce nello scrivere formule su formule su formule (inutili), fermarsi un minuto a ragionare aiuta sempre!

1) Sapendo che $mathbb{P}[X>=3]=alpha$ è facile risalire a $p$


$mathbb{P}[X>=3]=1-p-p(1-p)=1-2p+p^2=(1-p)^2$ da cui

$(1-p)^2=alpha rarr |1-p|=sqrt(alpha) rarr p=1-sqrt(alpha)$

Per il secondo, mi sono rifatto alla dimostrazione dell'Expectation ma con un trick alternativo:

Sì,Trick & Track

2) la distribuzione geometrica gode della proprietà di assenza di memoria e dunque, sapendo che $mathbb{P}[X>=3]=alpha$, otteniamo subito


$mathbb{P}[X<=4|X>=3]=mathbb{P}[X<=2]=1-mathbb{P}[X>=3]=1-alpha$

... e senza nemmeno preoccuparci di quanto valga $p$

fine....

ho capito. Au revoir!