Media e Varianza di V.A.

[Ub4thaan]

Salve a tutti,

Mi domandavo se date due V.A. \(\displaystyle X, Y \) indipendenti tra loro, e \(\displaystyle Z=X+Y \)
Ho che ad esempio \(\displaystyle E[2Z-Y]=E[2X+2Y-Y]=2E[X]+E[Y] \).
Vale la stessa cosa per la varianza?
Cioè \(\displaystyle Var[2Z-Y]=Var[2X+2Y-Y]=Var[2X+Y]=4Var[X]+Var[Y] \) o devo usare la formula completa \(\displaystyle Var[2Z-Y]=Var[2Z]+Var[Y]+2Cov[2Z,Y] \)

[niccoset]

Prova ad applicare la definizione di varianza e a vedere quello che ottieni.

[Ub4thaan]

Correggimi se sbaglio,

Dalla definizione di varianza ho che:
\( \displaystyle Var[2Z−Y]=Var[2Z]+Var[Y]+2Cov[2Z,Y]=4Var[Z]+Var[Y]+4Cov[Z,Y]= \)
\( \displaystyle =4Var[Z]+Var[Y]+4(Cov[X,Y]+Var[X])=4Var[Z]+5Var[Y]= \)
\(\displaystyle =4(Var[X]+Var[Y])+5Var[Y]=4Var[X]+9Var[Y] \)
Quindi se questi calcoli son corretti \(\displaystyle Var[2Z−Y]=Var[2X\pm 3Y] \) ne deduco che
\(\displaystyle Var[nZ\pm mY \pm oX]=Var[(n+o)X\pm(n+m)Y] \) con \(\displaystyle n,m,o\in\mathbb{N} \)

[niccoset]

Non è necessario che riporti tutti i conti, comunque c'è qualche errore nel tuo svolgimento.

\( \displaystyle Var[2Z-Y]=Var[2X+Y] =E[(2X+Y)^2]-E[2X+Y]^2=... \)

Sfruttando la linearità del valor atteso si arriva facilmente alla soluzione

[Ub4thaan]

Partendo da quel che hai scritto e svolgendo i conti mi viene fuori

\(\displaystyle ...=4Var[X]+Var[Y]+4Cov[X,Y] \) che siccome \(\displaystyle X,Y \) sono indipendenti che implica che sono tra loro incorrelate \(\displaystyle Cov[X,Y]=0 \) ho \(\displaystyle =4Var[X]+Var[Y] \)

Scusa ma voglio essere sicuro al 1000%

[niccoset]

Si, ora è corretto.