Probabilità di disequazioni tra VA

[Ub4thaan]

Buonsalve a tutti, avevo il seguente dubbio

Ho il seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle X \) una va uniforme su \(\displaystyle (0,2) \) e \(\displaystyle Y \) una va esponenziale di parametro \(\displaystyle 2 \)
Calcolare \(\displaystyle P(Y\leq2X-1) \)

Dalla teoria ho che \(\displaystyle P(Y\leq t)=\int_{0}^{t}f_Y(y)dy \)
Quindi ha senso considerare \(\displaystyle P(Y\leq2X-1)=\int_{0}^{2}f_X(x)\int_{0}^{2x-1}f_Y(y)dydx \)

Svolgendo i conti mi viene come risultato \(\displaystyle 1-\frac{e^8-1}{8e^6} \)

E' corretto o no? Perchè negli appunti e sul libro non trovo esempi per questa tipologia di esercizi

[ghira]

Potresti generare dei valori a caso da queste distribuzioni e vedere cosa succede.

[tommik]

Intervengo perché non si è sottolineato il punto cruciale del problema: per poter risolvere l'esercizio è necessario imporre che le variabili $X,Y$ siano stocasticamente indipendenti. In caso contrario sarebbero necessarie ulteriori informazioni per determinare $f(x,y)$.

@Ub4thaan: tu hai sottinteso l'indipendenza in quanto hai impostato nell'integrale $f(x,y)=f(x)f(y)$

Il metodo utilizzato (che, mi pare di capire, hai dedotto in modo intuitivo) è corretto. Purtroppo però gli estremi di integrazione sono sbagliati.
Dai post precedenti mi sembri un utente moderatamente preparato e quindi sono sicuro che saprai correggere quell'errorino in autonomia.

Il giusto suggerimento di @ghira si riferiva proprio a questo errore

Se il tuo libro è carente guarda qui, capitolo 6

Un esercizio identico al tuo è l'esempio 6.1 di pag 133. Ti consiglio VIVAMENTE di studiare bene tutto il capitolo; l'esercizio è propedeutico allo studio delle trasformazioni di vettori aleatori e questo capiloto ti dà la chiave per risolvere qualunque esercizio purché tu abbia una discreta base sull'integrazione doppia

Un'ultima precisazione, @Ub4thaan

Quando scrvi: distribuzione esponenziale di parametro $theta$ obblighi chi si accinge a rispondere a lanciare una moneta; infatti la distribuzione in oggetto è parametrizzata in due diverse maniere equivalenti

1) $f(x,theta)=theta e^(-theta x)$

2)$f(x,theta)=1/theta e^(-x/theta)$

Entrambe, per $theta>0$ e definite su $x>=0$

Quindi i casi sono due: o scrivi anche la densità oppure definisci l'esponenziale in termini di media e non di parametro; es, se scrivi $X$ si distribuisce come un'esponenziale negativa di media 3 è chiaro quale sia la sua densità.

[Ub4thaan]

Si, scusa ho dimenticato di scrivere che \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) sono indipendenti.

Del fatto che si potesse scrivere in 2 modi equivalenti non lo sapevo, in quanto ho sempre trovato la densità scritta come \(\displaystyle \theta e^{-\theta x} \), quindi si intende che in tutti i calcoli uso quella densità la (in questo argomento qua, per successivi specificherò).

Guardando l'esempio mi verrebbe da dedurre che

\(\displaystyle P(Y\leq2X-1)=P(2X-1\geq Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\int_{-\infty}^{2x-1}f_Y(y)dydx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}f_X(x)\int_{0}^{2x-1}f_Y(y)dydx=\frac{1}{8}\left(5+\frac{1}{e^6}\right) \)
O equivalentemente
\(\displaystyle P\left(X\geq\frac{Y}{2}+\frac{1}{2}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(y)\int^{+\infty}_{\frac{y}{2}+\frac{1}{2}}f_X(x)dxdy=\int_{0}^{3}f_Y(y)\int_{\frac{y}{2}+\frac{1}{2}}^{2}f_X(x)dxdy=\frac{1}{8}\left(5+\frac{1}{e^6}\right) \)

Quindi in questa tipologia di esercizi devo star un sacco attento agli estremi di integrazione.
Grazie mille, si intende che sto preparando l'esame di probabilità e statistica per la triennale di Ingegneria.

Sto provando ad andare oltre l'esercizio in se per capire bene.

[Ub4thaan]

Se fosse ad esempio \(\displaystyle X \) uniforme su \(\displaystyle [0,1] \) e \(\displaystyle Y \) uniforme su \(\displaystyle [1,3] \) e dovessi calcolare \(\displaystyle P(Y>X^2) \)

Avrei che
\(\displaystyle P(Y>X^2)=\int_{1}^{1}1\int_{1}^{x^2}\frac{1}{2}dydx=0 \)
O è completamente sbagliato e devo considerare, poichè l'unico punto in cui non vale la disuguaglianza è \(\displaystyle X=1 \) e \(\displaystyle Y=1 \)
\(\displaystyle P(Y>X^2)=1-P(X=1,Y=1)=1-P(X=1)P(Y=1)=\frac{1}{2} \)

[ghira]

$1-P(X=1)P(Y=1)=\frac{1}{2}$

Ma $P(X=1)$ e $P(Y=1)$ sono 0.

[Ub4thaan]

Ma P(X=1) e P(Y=1) sono 0.

Ma se 1 fa parte del sostegno sia di \(\displaystyle X \) che di \(\displaystyle Y \)... Scusa ma non ne capisco il ragionamento

[ghira]

Ma P(X=1) e P(Y=1) sono 0.

Ma se 1 fa parte del sostegno sia di \(\displaystyle X \) che di \(\displaystyle Y \)... Scusa ma non ne capisco il ragionamento

Io non capisco il tuo ragionamento. Secondo te cosa sono?

Palesemente $P(Y>X^2)$ è 1 e non è necessario fare alcun integrale.