Ricerca di uno stimatore con il metodo della massima verosimiglianza

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Data la seguente funzione di ripartizione:

$ F(x)= 1- (3/x)^theta I_((3,+oo) $

Trovare uno stimatore con il metodo della massima verosimiglianza.

Procedimento

Partendo dalla mia funzione di ripartizione, calcolo la funzione di densità:

$ d/dx = 1- (3/x)^theta = 3^theta*theta*x^((-theta-1) $

Dopodiché applico la funzione di massima verosimiglianza:

$ L(x,theta) = prod_ (i=1)^n 3^thetathetax^((-theta-1)) = (3^thetathetax^((-theta-1)))^n = 3^(thetan)theta^nx^((-thetan -n) $

Calcolo la derivata rispetto a $ theta $ di $ log L(x,theta) = log(3^(thetan)theta^nx^((-thetan -n))) = log(3)^(thetan) + log(theta) + log(x)^((-theta-1)) $

$ (partiallogL(x,theta))/(partialtheta)= n/theta + nlog(3) - nlog(sum_(i=1)^n X_i) = n+nthetalog(3) - nthetalog(sum_(i=1)^n X_i) $

Ora è giusto che lo stimatore mi esca così?

$ theta = 1/(log(sum_(i=1)^n X_i) - log(3) $

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In questo caso il parametro è nel dominio quindi la soluzione è

$ hattheta = max{|x_1,x_2,...x_n|} $

[tommik]

è giusto che lo stimatore mi esca così?

$ theta = 1/(log(sum_(i=1)^n X_i) - log(3) $

Prima di iniziare notiamo subito che la distribuzione in oggetto è una distribuzione nota: è una distribuzione di Pareto.

Tornando all'esercizio hai fatto parecchia confusione nei calcoli, già dalla verosimiglianza...posto che estraiamo un campione bernulliano di ampiezza $n$, ovvero $X_1,...,X_n$, la tua verosimiglianza viene così (le $X_i$ si moltiplicano fra loro, non sono tutte uguali...)

$L(theta)=theta^n 3^(n theta) Pi_(i=1)^n x_i^(-(theta+1))$

Quindi passando al logaritmo ottieni (il logaritmo di un prodotto è uguale alla SOMMA dei logaritmi, non al logaritmo della somma)

$l(theta)=n log theta + theta log 3^n-(theta+1)Sigma_i logx_i$

Derivo rispetto a $theta$, pongo uguale a zero e quindi alla fine ottengo

$hat(theta)=n/(Sigma_i logx_i-n log3)$

Tale formula può facilmente essere riscritta come

$hat(theta)_(ML)=n/(Sigma_i log(x_i/3))$

... che è la formula più nota dello stimatore cercato.

Visto che questo l'ho fatto io potresti "scambiare" ora il $theta$ con il 3 nella densità e stimare il parametro di scala.


$f(x|theta)=(3theta^3)/(x^4)mathbb{1}_([theta;+oo))(x)$

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In questo caso il parametro è nel dominio e quindi avrò:

$ hattheta = min{|x_1,x_2,...,x_n|} $

Invece se avessi ad esempio:

$ f(x) = 2/(alpha^2)(alpha-x)I_((0.alpha)$

Devo calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza sia per n=2 che per n=n.

In entrambi i casi non posso derivare perché il parametro è nel dominio e quindi:

Per n=2 ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2|} $
Per n=n ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2,...,x_n|} $

Considero il massimo valore in modulo. Giusto?

[tommik]

No, sembra che tu sappia che quando il dominio dipende dal parametro c'entrano i massimi ed i mimimi ma mi sembra che tu non faccia i conti per arrivare al risultato.

1) nell'esercizio proposto sulla Pareto, $x_i in [3;+oo)$ quindi non serve il modulo nella soluzione.

$hat(theta)=x_((1))$

dove $x_((i))$ è l'i-esima statistica d'ordine.

2) sarebbe meglio mettere un topic per ogni esercizio, qundi se hai voglia di risolverlo e postare i tuoi tentativi puoi aprire un nuovo topic, altrimenti qui non si capisce più nulla. Qui mi limito a fare alcune semplici osservazioni:

Invece se avessi ad esempio:

$ f(x) = 2/(alpha^2)(alpha-x)I_((0.alpha)$

Devo calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza sia per n=2 che per n=n.

In entrambi i casi non posso derivare perché il parametro è nel dominio e quindi:

Per n=2 ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2|} $
Per n=n ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2,...,x_n|} $

Considero il massimo valore in modulo. Giusto?

Assolutamente NO

Anzi, senza toglierti il gusto di fare i conti ed arrivare autonomamente alla soluzione, ti dimostro che tale stimatore NON può essere $x_((n))$, cioè il massimo delle osservazioni.



$f(x|a)=2/a^2(a-x)mathbb{1}_((0;a))(x)$

la densità può essere così riscritta

$f(x|a)=2/a^2(a-x)mathbb{1}_((x_((n));+oo))(a)$

Prendiamo ad esempio il caso $n=2$ dove estraiamo il seguente campione casuale $(x;y)$ e dove poniamo per ipotesi $y>x$

$L(a|x,y)prop 1/a^4(a-x)(a-y)mathbb{1}_((y;+oo))(a)$

come vedi non può essere $hat(a)=y$ perché in tale punto la verosimiglianza si azzera, e ciò accade anche per un generico intero $n >2$

In entrambi i casi non posso derivare perché il parametro è nel dominio

e perché non si può derivare dove hai letto questa cosa? ....ti hanno sicuramente fatto vedere alcuni esempi, come la uniforme o la Pareto del messaggio iniziale, dove non è possibile trovare l'argsup della verosimiglianza derivando e ponendo la derivata uguale a zero perché l'argsup è alla frontiera, in un caso hai la verosimiglianza sempre decrescente mentre nell'altro strettamente crescente....ma nessuno ha detto che non puoi derivare....

a conti fatti, ad esempio, per $n=2$, lo stimatore di max verosimiglianza mi viene così

$hat(a)=(3(x_1+x_2)+sqrt(9x_1^2-14x_1x_2+9x_2^2))/4$

ed ovviamente si ha che $hat(a)>x_((n))$


...per il resto dell'esercizio, occorre ragionare (non è pensabile fare i conti esplicitamente)

buon lavoro

[c03b02d0d20c8818da39]

Io vi ringrazio per tutto. Il problema è che qui leggo delle cose mentre il docente con cui seguo il corso me ne dice ben altre. Anche per quanto riguarda gli esercizi classici di probabilità. Qui ho trovato risultati completamente diversi. Non so più a chi dare ascolto. Credo sia meglio che io lasci perdere il corso.