No, sembra che tu sappia che quando il dominio dipende dal parametro c'entrano i massimi ed i mimimi ma mi sembra che tu non faccia i conti per arrivare al risultato.
1) nell'esercizio proposto sulla Pareto, $x_i in [3;+oo)$ quindi non serve il modulo nella soluzione.
$hat(theta)=x_((1))$
dove $x_((i))$ è l'i-esima statistica d'ordine.
2) sarebbe meglio mettere un topic per ogni esercizio, qundi se hai voglia di risolverlo e postare i tuoi tentativi puoi aprire un nuovo topic, altrimenti qui non si capisce più nulla. Qui mi limito a fare alcune semplici osservazioni:
c03b02d0d20c8818da39 ha scritto:
Invece se avessi ad esempio:
$ f(x) = 2/(alpha^2)(alpha-x)I_((0.alpha)$
Devo calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza sia per n=2 che per n=n.
In entrambi i casi non posso derivare perché il parametro è nel dominio e quindi:
Per n=2 ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2|} $
Per n=n ho $ hatalpha = max{|x_1,x_2,...,x_n|} $
Considero il massimo valore in modulo. Giusto?
Assolutamente NO
Anzi, senza toglierti il gusto di fare i conti ed arrivare autonomamente alla soluzione, ti dimostro che tale stimatore
NON può essere $x_((n))$, cioè il massimo delle osservazioni.
$f(x|a)=2/a^2(a-x)mathbb{1}_((0;a))(x)$
la densità può essere così riscritta
$f(x|a)=2/a^2(a-x)mathbb{1}_((x_((n));+oo))(a)$
Prendiamo ad esempio il caso $n=2$ dove estraiamo il seguente campione casuale $(x;y)$ e dove poniamo per ipotesi $y>x$
$L(a|x,y)prop 1/a^4(a-x)(a-y)mathbb{1}_((y;+oo))(a)$
come vedi non può essere $hat(a)=y$ perché in tale punto la verosimiglianza si azzera, e ciò accade anche per un generico intero $n >2$
c03b02d0d20c8818da39 ha scritto:In entrambi i casi non posso derivare perché il parametro è nel dominio
e perché non si può derivare
dove hai letto questa cosa? ....ti hanno sicuramente fatto vedere alcuni esempi, come la uniforme o la Pareto del messaggio iniziale, dove non è possibile trovare l'argsup della verosimiglianza derivando e ponendo la derivata uguale a zero
perché l'argsup è alla frontiera, in un caso hai la verosimiglianza sempre decrescente mentre nell'altro strettamente crescente....ma nessuno ha detto che non puoi derivare....
a conti fatti, ad esempio, per $n=2$, lo stimatore di max verosimiglianza mi viene così
$hat(a)=(3(x_1+x_2)+sqrt(9x_1^2-14x_1x_2+9x_2^2))/4$
ed ovviamente si ha che $hat(a)>x_((n))$
...per il resto dell'esercizio, occorre ragionare (non è pensabile fare i conti esplicitamente)
buon lavoro