Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda Marco Beta2 » 11/03/2020, 13:01

Buongiorno a tutti, ho un dubbio in merito alle v.a. gaussiane standard e non standard. Studiando ho notato che su alcuni appunti trovo scritto $sigma$ mentre su altri $sigma^2$ o meglio:
v.a. gaussiana standard: $Z ~ N(0; 1) $ con $mu = 0 $ e $sigma=1$

v.a. gaussiana non standard: $X_0 ~ N(mu ; sigma^2)$

La mia domanda è: quale delle due scritture è corretta? Si utilizza la deviazione standard o la varianza per descrivere le v.a. gaussiane sia standard che non standard? Fermo restando che la deviazione standrad è la radice quadrata della varianza però è per chiarire le idee e per fare meno errori possibili.
Grazie a tutti in anticipo. :smt023
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda tommik » 11/03/2020, 13:08

la notazione corretta (cioè la notazione che si trova sul 99.99% dei libri di Statistica) è questa


$X~N(mu;sigma^2)$

E' possibile trovare qualche testo che tratti di problemi con la gaussiana (ma di sicuro non è un libro di Statistica) dove viene esplicitamente indicato

$N(mu;sigma)$

anche se dovessi trovare $N(theta;theta)$ significa media e varianza pari a $theta$

Nel caso di gaussiana standard, $N(0;1)$ significa Gaussiana di media zero e VARIANZA 1 (che in tale caso coincide anche con deviazione std 1)
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda Marco Beta2 » 11/03/2020, 13:11

tommik ha scritto:...

grazie per la celere risposta.
Quindi mi confermi che è corretto parlare di varianza piuttosto che di deviazione standard anche nel caso di v.a. gaussiane standrad? Perchè il mio problema è che quell' $1$ che io leggo, in una scrittura può valere $1$ e in un'altra $sqrt(1)$ che non è proprio la stessa cosa :?
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda tommik » 11/03/2020, 13:13

Marco Beta2 ha scritto:in una scrittura può valere $1$ e in un'altra $sqrt(1)$ che non è proprio la stessa cosa :?


è la stessa cosa....la varianza è sempre positiva perché è una misura di distanza, quindi la sua radice è sempre 1

sarebbe interessante capire l'interpretazione geometrica della varianza (o della deviazione std)....se poi ho tempo provo a farti un esempio esplicativo
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda Marco Beta2 » 11/03/2020, 13:20

tommik ha scritto:...

Ottimo sarebbe veramente interessante :wink: graficamente so che piu la dev. standard tende a zero, più la campana della funzione è accentuata... però mi sfugge del perchè sugli appunti (e quindi a lezione) prima si usi la dev. standard e poi la varianza e in maniera molto velata... :?
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda tommik » 11/03/2020, 14:48

dunque consideriamo di avere il seguente campione casuale $(X;Y)$

La deviazione standard del campione (corretta) viene così

$S=sqrt(1/(n-1)[(x-m)^2+(y-m)^2])$

Supponiamo ora che la realizzazione campionaria sia la seguente

$(X=3;Y=1)$

e vediamo cosa succede graficamente


Immagine

la deviazione standard corretta è, via teorema di pitagora, il segmento rosso $d$, ovvero la distanza fra il vettore $(X=x;Y=y)$ ed il vettore delle medie $(m;m)$

E' quindi evidente che, radice quadrata o meno, la misura risultante è sempre una valida misura di distanza....e nulla cambierebbe se al posto di $(n-1)$ ci mettiamo $n$...sempre di misura di distanza si tratta

In conclusione: parlare di varianza o di deviazione standard in termini di significato non cambia nulla. Cambierà la manifestazione numerica, dovrai stare attento a fare i conti ma concettualmente sono due misure intercambiabili.
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda Marco Beta2 » 11/03/2020, 15:01

tommik ha scritto:...

Grazie mille tommik, spiegazioni al top come sempre :smt023 chiaro e conciso, ora mi è tutto più chiaro :smt023
Un ultimo dubbio e poi ti libero, nel caso di v.a. gaussiana non standard, nel caso dovessi avere una richiesta di calcolo della CDF o della PDF, dove in entrambe figura $sigma$, quella sarà data dalla radice della varianza data giusto?
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda tommik » 11/03/2020, 15:32



Del resto la tua densità rimane sempre questa

$f(x|ul(theta))=1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)$


dove $ul(theta)$ è il vettore dei parametri. Normalmente si intende $ul(theta)=(mu;sigma^2)$ ma nessuno vieta di pensare $ul(theta)=(mu;sigma)$

Immagino che la cosa possa creare un po' di confusione ma è così.....

Ovviamente bisogna essere un po "smart" in queste cose....anche questa è una gaussiana...
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Re: Deviazione standard e varianza nelle v.a. gaussiane

Messaggioda Marco Beta2 » 11/03/2020, 19:02

tommik ha scritto:...

Grazie mille è tutto chiarissimo :smt023
Hai ragione bisogna essere smart su queste cose e spero che tutto dipende dal farci l'occhio :wink:
Grazie ancora e al prossimo dubbio :-D
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