Aleatoria Uniforme

[kiral95]

Vi propongo questo esercizio:

Sia x una v.a uniforme che assume valori tra tra $[-3,a]$
Calcolare il valore di "a" tale che la prob. che X sia inferiore a 1 valga 1/3

$ int_(-3)^(1) 1/(a+3) dx =1/3 $ Ho risolto così, ed a viene 9.

Si trasformi X in una nuova v.a Y secondo la legge y=g(x) = |x|
Si calcoli la pdf di y



Usando la legge di trasformazione precotta nessun problema :
$ f_n(y)=f_x(x')/|g'(x')| $
Per $0<y<3$ abbiamo che
le x' (soluzioni di y=|x|) sono: x e -x, ovvero le due bisettrici del grafico. la $g(x)'$ in valore assoluto vale 1 in entrambi i casi.

$ f_n(y)=1/12 + 1/12 = 1/6 $ in quanto la pdf di x è costante e vale 1/12 da dividere per 1.

Per 3<y<9 identica cosa, solo che ho un solo tratto quindi 1/12

Ora, se invece volessi procedere nel seguente modo non mi risulta:

per $3<y<9$ è uguale alla $P(3<x<9) = $
$ F_n(y)=int_(3)^(9) f_x(x) dx= -3*1/12 + 9*1/12 $ ma poi dovrei derivare una costante che fa 0 per ottenere la f piccola. Mi starò confondendo in un bicchiere d'acqua o peggio ho delle lacune di teoria. Potete aiutarmi?

[tommik]

per $3<y<9$ è uguale alla $P(3<x<9) = $

...e quindi $F_Y(y)=F_X(y)=(y+3)/12$

derivi e trovi la corretta $f_Y(y)$

Ecco comunque tutti i passaggi utilizzando la definizione di CDF, anche per l'altro intervallo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per $y in[0;3)$ abbiamo

$F_Y(y)=mathbb(P)[Y<=y]=mathbb(P)[|X|<=y]=mathbb (P)[-y<=X<=y]=F_X(y)-F_X(-y)=(y+3)/12-(-y+3)/12=y/6$


Per $y in[3;9]$ abbiamo

$F_Y(y)=mathbb(P)[Y<=y]=mathbb (P)[X<=y]=F_X(y)=(y+3)/12$

e quindi derivando ottieni $f_Y(y)=1/6 mathbb (1)_([0;3))(y)+1/12 mathbb (1)_([3;9])(y)$

[kiral95]

Grazie mille!